高阶滑模控制

定义和思想

为什么使用高阶滑模控制

传统的滑模控制针对大范围的控制问题，在具有不确定因素的条件下，已经可以提供鲁棒、高精度的控制效果，但其还存在 2 个限制

1. 在滑模面上的约束方程只能具有 1 的 relative degree ，这意味着控制量显示的出现在约束方程的第一阶导数中
2. 控制量会出现高频的 chattering，这是在实际应用中很难接受的

基本实现

简要性质证明

• 滑模控制 有下面几点好处：
  • robustness
  • parameter variations
  • reduced order dynamics

高阶滑模控制保持了滑模控制的多数好处，其是一阶滑模控制的推广延伸

相比于传统的滑模控制，高阶滑模控制影响的是滑模变量的高阶导数，而非仅仅传统的 $\dot{s}$

• 比如：$\ddot{s}=f(u)$

note

参考书籍@yuriSlidingModeControl2014

状态轨迹有限时间收敛

参考引文 1 完成证明

note

证明的主要思想：证明相轨线距离原点的距离在“逐渐”缩短。图中示意的是$x_2$轴线上的距离逐渐变短

给定下面这样的示意系统：

$$\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=u\end{array}$$

^eqn-system

设计输入为：

$$u=-k_1\mathrm{sign}\left(x_1\right)-k_2\mathrm{sign}\left(x_2\right),k_1>k_2>0$$

^eqn-control-law

收敛性

分析设计的滑模控制器在相图中的轨迹变化情况

第一象限

第四象限

第三象限

第四象限

上面的分析表明会行程上面的螺线，下面证明会收敛

根据 ^eqn-system 和 ^eqn-control-law^eqn-control-law，又由于滑模变量 $s=x_1$ 有：

$$\ddot{s}=-k_1\mathrm{sign}\left(s\right)-k_2\mathrm{sign}\left(\dot{s}\right)$$

看到上面这个式子，很常见的一个想法是：

$$\ddot{s}=\frac{\mathrm{d}\dot{s}}{dt}=\frac{\mathrm{d}\dot{s}}{ds}\dot{s}$$

因此有：

$$\frac{\mathrm{d}\dot{s}}{ds}\dot{s}=-k_1\mathrm{sign}\left(s\right)-k_2\mathrm{sign}\left(\dot{s}\right)$$

根据 第一象限 的分析，有：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}{x}_2{x}_2& =-\left(k_1+k_2\right)\mathrm{d}{x}_1\\ \Rightarrow x_{20}^2& =2\left(k_1+k_2\right)x_1\end{array}$$

类似的，考虑 第四象限 的分析，有：

$$x_{21}^2=2\left(k_1-k_2\right)x_1$$

这意味着在 $x_2$ 轴向距离逐渐缩短

其余的基本类似

有限时间

证明了收敛性，下面考虑有限时间收敛性质

注意到在第一象限，由于 ^eqn-control-law，而 u 直接控制 $x_2$，因此：

$$\begin{array}{rl}{\int }_{x_{20}}^0\mathrm{d}{x}_2& =-{\int }_0^{t_0}\left(k_1+k_2\right)\mathrm{d}t\\ \Rightarrow t_0& =\frac{x_{20}}{k_1+k_2}\end{array}$$

在第四象限，类似的，有：

$$t_1=\frac{\left|x_{21}\right|}{k_1-k_2}$$

总时间为：

$$\begin{array}{rl}{T}_1& =t_0+t_1=x_{20}\underset{\eta }{\underbrace{\left[\frac{q}{k_1-k_2}+\frac{1}{k_1+k_2}\right]}}\\ q& =\frac{x_{21}}{x_{20}}<1\end{array}$$

note

注意这里考虑的是总时间，从对称性角度考虑的

类似的，有：

$$T_2=\eta x_{21}=\eta q{x}_{20}$$

从而表明，根据数列收敛的性质表明有限时间收敛

备注

滑模控制的创始人之一 utkin 于 2016 年 3 月在 IEEE TAC 刊出的“Discussion aspects of high order sliding mode control”一文中全面的质疑了高阶滑模控制对于传统滑模控制的优越性，包括相对阶问题，有限时间收敛性，抖振问题，应用前景等 @utkinDiscussionAspectsHighOrder2016

Super-twisting^{[1] [2]} 也是高阶滑模控制的一种，本来想研究一番的，但是看了这个知乎问题和对应的论文之后，有点怵，感觉是个坑，因为没有这方面的项目，所以就不深挖了 x。

参考

引文

1. 高阶滑模控制_哔哩哔哩_bilibili
2. @yuriSlidingModeControl2014

脚注

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1. On Convergence Time and Disturbance Rejection of Super-Twisting Control," in IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 58, no. 8, pp. 2013-2017, Aug. 2013, doi: 10.1109/TAC.2013.2251812 ↩︎

2. Site Unreachable ↩︎