Chap4 Nyquist稳定性判据

模型背景

我们考虑一个如上图的控制系统，最终化简后的系统传递函数为：

• 开环传递函数：$G(s)H(s)$
• 闭环传递函数：$\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$

令 $G(s)=\frac{N_G}{D_G},H(s)=\frac{N_H}{D_H}$，那么可以发现：

• $GH=\frac{N_G{N}_H}{D_G{D}_H}$
• $1+GH=1+\frac{N_G{N}_H}{D_G{D}_H}=\frac{D_G{D}_H+N_G{N}_H}{D_G{D}_H}$
• $\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{D_H{N}_G}{D_G{D}_H+N_G{N}_H}$

这表明，$GH$ 和 $1+GH$ 具有相同的极点，$1+GH$ 的零点和 $\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$ 的极点相同

柯西幅角原理

零点情形

极点情形

Nyquist 稳定性判据

注意到在 模型背景中我们提到了：

• GH和1+GH具有相同极点
• 1+GH零点和闭环传递函数极点相同

为了方便分析，将映射 $F=1+GH$ 换位 $F^{\prime }=GH$， 这表明：

从上面的形式来看，我们给一个GH的函数映射，通过其可以计算闭环传递函数在右半平面的极点的个数，这一方法可以直接通过开环传递函数计算闭环传递函数的极点个数，从而判断系统稳定性

总结

应用

• k=1
  • 
  • 这表明P=N=0，稳定
• k=5
  • 
  • 这表明P=0, N=-2，从而Z=2，系统不稳定
  • Nyquist图对K是线性的，其实就是将前一张图按照中心放大5倍

nyquist有点像大一学的绕中心旋转角度积分的结果，好像印象里就是可以判断转动圈数

参考

引文

脚注