Chap1 问题引入

书籍简介

提供一个统一的针对机械系统控制的方法论，从系统建模、分析到设计；这一流程是通过几何的角度来完成的（Riemannian and affine geometry）

本书的目录被分为 3 大块：

• 处理建模问题
• 处理控制系统的分析问题
• 处理控制系统的设计问题

Motivations

刚体系统

对刚体系统，其中的控制问题可以是非线性的。一个简单的例子如下：

^fig-plannar-rigid-body-1

这一系统描述了一个简化的二维小船，显然它具有 3 个自由度。我们考虑通过其广义坐标来描述构型空间，广义坐标为：$q=(\theta ,x,y)$，也可以将其表示为：

$$\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )& x\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )& y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

note

下面这种表示强调了构型空间的矩阵群结构，我们将在homogeneous representation中详细介绍这点

这个系统的速度可以在惯性系 ${\sum }_{spatial}$ 下描述，也可以在随体坐标系 ${\sum }_{body}$ 下描述，记速度分别为：$\dot{q}=\left(\dot{\theta },\dot{x},\dot{y}\right)$ 和 $\left(\dot{w},{\dot{v}}_x,{\dot{v}}_y\right)$，那么有：

$$\left[\begin{array}{c}\dot{\theta }\\ \dot{x}\\ \dot{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& & \\ & \cos \theta & -\sin \theta \\ & \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{w}\\ {\dot{v}}_x\\ {\dot{v}}_y\end{array}\right]$$

通过坐标 $q$ 和 $\dot{q}$，可以决定这个系统的状态。从而我们可以将系统的能量给表述出来：

$$\mathrm{KE}=\frac{1}{2}{\dot{q}}^T\mathbb{G}(q)\dot{q},\mathbb{G}(q)=\left[\begin{array}{ccc}J& & \\ & m& \\ & & m\end{array}\right]$$

note

利用动能和势能可以直接构造出拉格朗日方程，从而完成系统动力学建模

$$\begin{array}{rl}J\ddot{\theta }& =-h{u}_2\\ m\ddot{x}& =u_1\cos \theta -u_2\sin \theta \\ m\ddot{y}& =u_1\sin \theta +u_2\cos \theta \end{array}$$

其中 $u_i$ 是 F 在 i 上的分量

根据这个动力学方程，我们可以考虑下面的问题：

是否可能从一个给定的状态控制到另一个任意的期望状态

参考

引文

脚注