stewart 并联机构 Jacobi 矩阵推导

Stewart 并联机构 Jacobi 矩阵推导

定义

推导与 Stewart 类似的并联机构的 (逆) Jacobi 矩阵。

问题描述

在底部坐标系固定的情况下，已知上部平板的广义速度 $\dot{\vec{u}}$，计算六根支链的速度 $\dot{\vec{l}}$，即计算 Jacobi 矩阵 $J$ 使得：$\dot{\vec{l}}=J\dot{\vec{u}}$

预先假设

系统的广义坐标 $\vec{u}=[x,y,z,a,b,c]$，前三个分量代表位移，后三个代表姿态变化，分别表示为 $u_m$ 和 $u_{\theta }$。可以使用四元数或者 Euler 角等进行描述，参考 RPY角和Euler角

问题求解

注意到：

$$l=Rp+t-b$$

其中 $l$ 代表一根支链矢量，$R$ 为由底部坐标系转换到顶部坐标系的姿态变换矩阵，$t$ 代表位置变化矢量，$p$ 和 $b$ 分别表示支链连接点在上下两个坐标系中的坐标表示。为了书写方便，在后文中，除非特殊说明，所有小写英文字母代表向量，大写代表矩阵。

因此两边同时对时间微分有：

$$\dot{\vec{l}}=\dot{Rp}+\dot{t}-\dot{b}=\dot{R}p+\dot{t}$$

注意到，旋转矩阵求导，应该有：

$$\dot{R}=S(\omega )R$$

其中 $S(x)$ 代表矢量 $x$ 生成的反对称矩阵。因此得到：

$$\dot{\vec{l}}=S(\omega )Rp+\dot{t}=-Rp\times \omega +\dot{u_m}$$

需要考虑角速度 $\omega$ 和广义角度微分 $\dot{u_{\theta }}$ 之间的关系，参考 角速度和广义角度微分关系，满足：

$$\omega =E{u}_{\theta }$$

因此最终结果有：

$$\dot{\vec{l}}=-Rp\times \omega +\dot{u_m}=[I_{3\times 3}-S(Rp)E]\dot{u}$$

当描述方式为RPY 时 $E=I$，那么化简为：

$$J=[I_{3\times 3}-S(Rp)I]=[I_{3\times 3}-S(Rp)]$$

显然的，使用 RPY 角会使得整个计算过程变得更加简单，因此大家一般都是用 RPY 角更加方便。

note

collapse: open title: Note 注意这里只是一般形式下满足$E=I$的结果，在Euler角下也可以实现$E=I$，比如ZYX情况下后面两个轴转动角度为0情况。

参考

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