Stewart 运动学正解

randolf2022年8月9日

大约 2 分钟

定义

使用 Matlab 对 Stewart 机器人进行运动学正解求解。

注意到，一般的给定构型下不存在解析解，因此一般使用数值解进行求解。比较常用的工具是牛顿迭代法，基本思路如下：

2021030522342146

理论分析

对单根轴进行分析，即计算 $\frac{\partial f _{i} ( u )}{\partial u}$ ，其中 $f_{i} (u) = ∣∣ l_{i} ∣∣ - ∣∣ l_{i} (u) ∣∣$ 。

注意到，对一个矢量 $s$ ，有微分关系：

\frac{\partial s ^{T} s}{\partial x} = \frac{\sum s _{i}^{2}}{\partial x} = 2 s^{T} \frac{\partial s}{\partial x}

因此对 $f_{i} (u)$ 有：

\frac{\partial f _{i} ( u )}{\partial u} = - \frac{\partial l _{i} ( u ) ^{T} l _{i} ( u )}{\partial u}

其中， $l_{i} (u)$ 代表估计参数 $u$ 对应的之链长度。

\dot{l} = - Rp \times ω + \overset{u_{m}}{˙} = [I_{3 \times 3} - S (Rp) E] \overset{u}{˙}

当描述方式为RPY 时 $E = I$ ，有：

note

collapse: open title: Note 注意这里只是一般形式下满足 $E = I$ 的结果，在Euler角下也可以实现 $E = I$ ，比如ZYX情况下后面两个轴转动角度为0情况。

J = [I_{3 \times 3} - S (Rp) I] = [I_{3 \times 3} - S (Rp)]

因此有：

\frac{\partial f _{i} ( u )}{\partial u} = \frac{1}{2∣∣ l _{i} ( u ) ∣∣} \frac{\partial l _{i} ( u ) ^{T} l _{i} ( u )}{\partial u} = \frac{l _{i} ( u ) ^{T}}{∣∣ l _{i} ( u ) ∣∣} \frac{\partial l _{i} ( u )}{\partial u} = \frac{l _{i} ( u ) ^{T}}{∣∣ l _{i} ( u ) ∣∣} J

因此带入有：

\frac{\partial f _{i} ( u )}{\partial u} = \frac{l _{i} ( u ) ^{T}}{∣∣ l _{i} ( u ) ∣∣} [I_{3 \times 3} - S (Rp)] = \frac{[ l _{i} ( u ) ^{T} , - l _{i} ( u ) ^{T} S ( Rp )]}{∣∣ l _{i} ( u ) ∣∣}

记 $r = Rp$ ，因此有：

- l_{i} (u)^{T} S (r) = - (S (r)^{T} l_{i} (u))^{T} = - (- S (r) l_{i} (u))^{T} = (r \times l_{i} (u))^{T}

带入得到：

\frac{\partial f _{i} ( u )}{\partial u} = \frac{[ l _{i} ( u ) ^{T} , - l _{i} ( u ) ^{T} S ( Rp )]}{∣∣ l _{i} ( u ) ∣∣} = \frac{[ l _{i} ( u ) ^{T} , ( r \times l _{i} ( u ) ) ^{T} ]}{∣∣ l _{i} ( u ) ∣∣}

其中位姿变换描述在 RPY 下。

note

collapse: open title: Note 需要注意，这里计算的存在一个负号，因为之前定义 $f (u) = l_{i} - l (u)$ ，因此前面带负号，上面计算没写

Functions

参考我自己完成的正解: