角速度和广义角度微分关系

角速度和广义角度微分关系

定义

在机器人运动分析中存在很多种对姿态变换的描述方式，比如 RPY角和Euler角 等。除了位置分析意外，自然的会联想到速度分析，比如 stewart 并联机构 Jacobi 矩阵推导 ，此时需要实现角速度和广义角度微分之间的转换，本文对其进行分析。

预先假设

以 $\omega$ 表示角速度矢量，以 $u_{\theta }$ 表示广义姿态描述矢量。

RPY 角方式

具体来说实际上指的是围绕定坐标系旋转的方式，以 RPY 角为例。这种旋转模式下，始终围绕着一个定坐标系的三轴进行旋转，那么对这三次变换的角速度，其分别在定坐标系下表示就是广义角度微分的形式，因此 $\omega =\dot{u_{\theta }}$。

Euler 角方式

以 ZYX 的欧拉角描述模式为例，此时坐标系旋转为绕着动坐标系旋转，分别记旋转角度为 $a$,$b$,$c$，即 $u_{\theta }=[a,b,c{]}^T$。

分别记三次坐标旋转对应的旋转矩阵为 $R_a$,$R_b$,$R_c$，总的旋转矩阵为 $R=R_a{R}_b{R}_c$。下面进行运动的理论分析。

对每次旋转的角速度分别进行分析。注意到角速度满足性质：在同一个坐标系下可以进行叠加，那么最终的角速度应该满足 $\omega ={\omega }_a+{\omega }_b+{\omega }_c$，分别对应三次旋转的角速度。

以 ${\omega }_a$ 为例，将其表示在末端坐标系下，结合其旋转轴为 Z 轴，因此有：

$${\omega }_a=(R_b{R}_c{)}^T[0,0,1{]}^T\dot{a}$$

类似的，最终的角速度 $\omega$ 满足：

$$\omega =(R_b{R}_c{)}^T[0,0,1{]}^T\dot{a}+(R_c{)}^T[0,1,0{]}^T\dot{b}+[1,0,0{]}^T\dot{c}$$

表示成矩阵形式，${\omega }_p=E_p\dot{u_{\theta }}$：

$$E_p=\left(\begin{array}{ccc}-\sin (b)& 0& 1\\ \cos (b)\sin (c)& \cos (c)& 0\\ \cos (b)\cos (c)& -\sin (c)& 0\end{array}\right)$$

这里的 ${\omega }_p$ 是表示在最终的动坐标系下的，将其转换为初始的静坐标系应该有：

$$E=R{E}_p=\left(\begin{array}{ccc}0& -\sin (a)& \cos (b)\cos (a)\\ 0& \cos (a)& \cos (b)\sin (a)\\ 1& 0& -\sin (b)\end{array}\right)$$

可以发现，此时出现了第一个旋转的角度。

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此外，足够细致的话还可以发现，上面的在动静两坐标系下表现形式很接近。考虑这样一个变换，将 x 和 z 方向的分量进行交换，即一个反射矩阵 $I_{tr}$，其表示空间中的一个反射变换，那么考虑到线性变换在不同坐标系下的表示形式 (矩阵的相似)，即：

$$E_{tr}=I_{tr}^{-1}E{I}_{tr}=I_{tr}E{I}_{tr}$$

带入可以发现有：

$$E_p=I_{tr}^{-1}E{I}_{tr}/.\{a\to c,c\to a\}$$

这意味着，在反射空间 $I_{tr}$ 下，实现 Euler 变换方式描述的姿态变换关于角度对称。或者说，将 ZYX(a,b,c) 转换为 XYZ(a,b,c) 描述，此时动静坐标表示结构相同，这一点从几何上来看也是直观的。

从数字的角度来看，注意到 XYZ(-c,-b,-a) 表示下的 $E$ 和 $E_p$ 的结构如下 (仍然用 $u_{\theta }=[a,b,c]$)：

$$E_p=\left(\begin{array}{ccc}0& -\sin (a)& \cos (a)\cos (b)\\ 0& \cos (a)& \sin (a)\cos (b)\\ 1& 0& -\sin (b)\end{array}\right),E=\left(\begin{array}{ccc}-\sin (b)& 0& 1\\ \cos (b)\sin (c)& \cos (c)& 0\\ \cos (b)\cos (c)& -\sin (c)& 0\end{array}\right)$$

和 ZYX 结构的转换矩阵之间互相相反，这和我们直观的几何认识相符（直接作为前面 ZYX 矩阵的逆）。

Mathematica 代码

rot = EulerMatrix[{\[Psi][t], \[Theta][t], \[Phi][t]}, {3, 2, 1}];
rot /. formatStyle // MatrixForm
(*transfer angular velocity of moving platform respect to the moving \
platform*)
wTransP = 
  Transpose[{(Transpose@(RotationMatrix[\[Theta][t], {0, 1, 
           0}].RotationMatrix[\[Phi][t], {1, 0, 0}])).{ 0, 0, 
      1}, (Transpose@RotationMatrix[\[Phi][t], {1, 0, 0}]).{0, 1, 
      0}, {1, 0, 0}}];
wTransP /. formatStyle // MatrixForm(*ZYX*)
rot.wTransP // FullSimplify /. formatStyle // MatrixForm

(*XYZ*)
ClearAll[a, b, c];
(*XYZ*)
rot1 = EulerMatrix[{-c, -b, -a}, {1, 2, 3}];
wTransP1 = 
  Transpose[{{0, 0, 
     1}, (Transpose@RotationMatrix[-a, {0, 0, 1}]).{0, 1, 
      0}, (Transpose@(RotationMatrix[-b, {0, 1, 
           0}].RotationMatrix[-a, {0, 0, 1}])).{ 1, 0, 0}}];
wTransP1 /. formatStyle // MatrixForm
(rot1.wTransP1) // FullSimplify /. formatStyle // MatrixForm

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角速度定义理解这一关系

一般可以把我们的这个旋转变换 $R$ 表示为如下形式：

$$R=R_a{R}_b{R}_c$$

其中 $R_i$ 是正交的旋转矩阵，分别代表三个广义角速度.

注意到角速度的矩阵形式可以定义出角速度为下面式子：

$$\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}=S\left(\omega \right)R$$

因此带入式子 (8) 得到：

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}& =\frac{\mathrm{d}\left(R_a{R}_b{R}_c\right)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\left(R_a\right)}{\mathrm{d}t}{R}_b{R}_c+R_a\frac{\mathrm{d}\left(R_b\right)}{\mathrm{d}t}{R}_c+R_a{R}_b\frac{\mathrm{d}\left(R_c\right)}{\mathrm{d}t}\\ \Rightarrow S\left(\omega \right)R& =S\left({\omega }_a\right)R_a{R}_b{R}_c+R_{a}S\left({\omega }_b\right)R_b{R}_c+R_a{R}_{b}S\left({\omega }_b\right)R_c\end{array}$$

对应的，$S({\omega }_i)$ 代表的是广义角速度对应的反对称矩阵，参考 旋转矩阵求导.

进一步得到：

$$S\left(\omega \right)=S\left({\omega }_a\right)+R_{a}S\left({\omega }_b\right){R_a}^{\mathrm{T}}+R_a{R}_{b}S\left({\omega }_c\right){\left(R_a{R}_b\right)}^{\mathrm{T}}$$

对应到角速度矢量有：

$$\begin{array}{rl}S\left(\omega \right)& =S\left({\omega }_a\right)+R_{a}S\left({\omega }_b\right){R_a}^{\mathrm{T}}+R_a{R}_{b}S\left({\omega }_c\right){\left(R_a{R}_b\right)}^{\mathrm{T}}\\ \Rightarrow \omega & ={\omega }_a+R_a{\omega }_b+R_a{R}_b{\omega }_c\end{array}$$

其中 $\omega$ 代表在原始坐标系观察的角速度，${\omega }_a$ 代表在原始坐标系下观察的角速度，${\omega }_b$ 代表在Ra 作用后的新坐标系下的角速度，${\omega }_c$ 代表在RaRb 作用后的新坐标系下的角速度。这可以从两个角度理解：

• 我们推导这个式子使用了式子 (9)，其中的 $\omega$ 代表的是在 (9) 中 R 的作用的原始坐标系下的角速度，因此回来就是上面的结果
• 另一方面，参考 矩阵坐标意义和变换意义 的理解，矩阵是一个向量存在的标记，代表其存在于那个空间中，因此这个意义上看，得到的式子不难理解。

因此以上面的ZYX为例，得到的计算可以为：

$$\begin{gathered} \omega ={\omega }_a+R_a{\omega }_b+R_a{R}_b{\omega }_c \\ {\omega }_a=\dot{a}{\vec{n}}_z,{\omega }_b=\dot{b}{\vec{n}}_y,{\omega }_c=\dot{c}{\vec{n}}_z \end{gathered}$$

矩阵为：

$$E=\left(\begin{array}{ccc}0& -\sin (a)& \cos (b)\cos (a)\\ 0& \cos (a)& \cos (b)\sin (a)\\ 1& 0& -\sin (b)\end{array}\right)$$

对 RPY 角方式，可以注意到，在前面推导过程中使用的式子 (9)，其意义与前面的不同。统一使用坐标系意义的坐标变换：

$$\begin{array}{rl}S\left(\omega \right)& =S\left({\omega }_a\right)+R_{a}S\left({\omega }_b\right){R_a}^{\mathrm{T}}+R_a{R}_{b}S\left({\omega }_c\right){\left(R_a{R}_b\right)}^{\mathrm{T}}\\ \Rightarrow \omega & ={\omega }_a+R_a{\omega }_b+R_a{R}_b{\omega }_c\end{array}$$

考虑到 ${\omega }_i$ 定义的相反性 (来源于 RPY 表示的向量意义)，大概就得到理论的结果。

#todo

参考

• None