机构自由度计算

randolf2022年8月9日

大约 2 分钟

定义

机构自由度计算是一个探索了 150 年的问题，人们有多种计算方式，可以我写的自然辩证法论文 main 。

M = 6 (n - g - 1) + \sum f_{i} M = 3 (n - g - 1) + \sum f_{i}

例子如下图：

M = 3 (n - g - 1) + \sum f_{i} = 3 \times 3 - 4 \times 2 = 1

假设机构相对一个参考点有 Jacobian 矩阵 $J$ ，其满足

J \overset{q}{˙} = \overset{x}{˙}

其中： $q$ 是关节坐标系下的坐标， $y$ 是世界坐标系下坐标 (并联机构则存在两个 Jacobian $J_{q}, J_{x}$ )。

那么机构自由度为 J 的零空间维数。

如下图：

其中参数为：

A : (- 1, - 2, 0), B : (- 1, 2, 0) C : (1, 2, 0), D : (1, - 2, 0)

假定 x 坐标满足形式：

x^{T} = (r_{x} r_{y} r_{z} m_{x} m_{y} m_{z})

那么对参考点 B实际上是 B 的一小段邻接部分，这样才能有完整的 6 个自由度

从支链 AB 和 DC 分别有:

J_{A B} = ⎝ ⎛ 001 - 4 00 001000 ⎠ ⎞, J_{D C} = ⎝ ⎛ 0014 - 2 0 0010 - 2 0 ⎠ ⎞, J = [J_{A B} J_{D C}]

注意 $J_{A B} (\dot{θ}_{A}, \dot{θ}_{B})^{T} = \overset{x}{˙}_{B}$ ，因为包含了 B 的一小段邻接部分，因此可以包含关节 B 本身的角速度，其对 z 方向角速度有影响，但对其余方向速度无影响。

对合成的 J 使用奇异值分解考虑其零空间：

J = U Σ V^{T}, Σ = ⎣ ⎡ 5.87 0.0 0.0 0.0 0.0 2.95 0.0 0.0 0.0 0.0 0.93 0.0 0.0 0.0 0.0 0 ⎦ ⎤

因此维数为 1.

分别对 AB 和 DCB 的工作空间作图，求交集：

因此为 1 维。