Chap4 多项式

Chap4 多项式

这一章是和前面没啥关系的补充章节，内容也比较简单，我就简单提下。

一些规定：

• 多项式 0 的次数为 $-\infty$
• s 是一个多项式，deg s 是 s 的最高项次数

处理多项式时有一个基本的定理，称为多项式的带余除法。

lemma

多项式的带余除法 假设p,s∈P(F)，且s≠0，则存在惟一的多项式q,r∈P(F)使得：p=sq+r，且 deg r < deg s

这一定理是相当初等的，但这里给一个相当“线性代数”的证明：

定义了多项式后，这里再来一个更重要的基本定理，被称为代数学基本定理：

lemma

代数学基本定理 每个非常数的复系数多项式都有零点

这个定理证明涉及到一些分析学的知识，简单的写来如下：

从而我们有：C 上多项式可以分解 (惟一的) 为：

$$p\in P\left(\mathbb{C}\right)\Rightarrow p\left(z\right)=c\left(z-{\lambda }_1\right)\cdots \left(z-{\lambda }_m\right)$$

对 R 上的多项式，这个定理只能弱化为：实系数多项式的非实零点是成对出现的，可以简单通过取复共轭证明。