Chap2 有限维向量空间

Chap2 有限维向量空间

Chap1 向量空间 中研究了如何从集合的角度定义和分析向量空间，但很多时候，我们关注的并不是任意维数集合构成的线性空间，而一般是有限维的线性空间

从向量组构成线性空间

我们考虑细化前面集合角度定义的线性空间，并将讨论范围限制在有限维的空间中。一般我们使用括号将一组数括起来表示数组，这里的数是定义在 F 上的。进一步对这些数组组成的集合进行分析，即研究在 $F^n$ 上的向量组，比如 $\left(4,1,6\right),\left(9,5,7\right)$ 表示在 $R^3$ 上的一个长度为 2 的向量组

对这个向量组构成的集合，使用 向量空间上的运算，将一个向量组中的向量做标量乘法后相加可以得到一个线性组合。这些线性组合可以得到一个集合，根据前面的定义，这个集合是一个 线性空间。从而，我们称这个空间为：

$$\mathrm{span}\left(v_1,\cdots ,v_m\right)=\left\{a_1{v}_1+\cdots +a_m{v}_m|a_1,\cdots ,a_m\in F\right\}$$

现在可以给出有限维线性空间的就定义了：

definition

如果一个向量空间可以由空间中的某个向量组张成，那么成这个向量空间是有限维的

考虑在我们张成空间中的唯一性问题，类似线性空间的讨论，可以得到下面这样一个指标：线性无关

definition

线性无关

• V中的一组向量$v_1,\cdots ,v_m$是线性无关的，如果使得$a_1{v}_1+\cdots +a_m{v}_m=0$的$a_1,\cdots ,a_m\in F$只有$a_1=\cdots =a_m=0$
• 规定空组()是线性无关的

因此直观上来看，线性无关的向量组表示向量组中的每个向量都很重要；反之，非线性无关 (称为 线性相关) 的向量组表示向量组中存在冗余向量，可以剔除。

这一思考带领我们考虑，如何表示向量空间的最小向量组长度？直觉上来说，这个最小向量组一定是线性无关的，因此得到下面的定义：

definition

基 若V中的一个向量组既线性无关又张成V，那么称其为V的基

这其实表明了，每个向量组都可以化简成一组基，这个向量空间是由这个向量组张成的。此外，结合子空间的直和的思想，可以表明，在 有限维向量空间 中，每个线性无关的向量组都可以扩充成向量空间的基，从而得到这样的结论：

lemma

V是有限维的(事实上可以非有限维)，U是V的子空间，那么存在V的子空间W使得

$$V=U\oplus W$$

描述向量空间的性质

从前面的结论表明，有限维向量空间一定可以存在一组向量，这组向量构成了有限维向量空间的基，这组基可以张成整个向量空间。因此我们考虑从这里的基底来分析向量空间。

definition

向量空间的维数

• 有限维向量空间的任意基的长度称为这个向量空间的维数
• 若V是有限维的，那么V的维数记为$\dim V$

几个比较直接的例子：

$$\begin{array}{rl}\dim F^n& =n\\ \dim P_m\left(F\right)& =m+1\end{array}$$

需要注意，在讨论向量空间的维数时，其作用域 F 是不可忽略的，比如复向量空间 C 的维数是 1，而其对应于的实向量空间 $R^2$ 的维数是 2