矩阵特征值

矩阵特征值

定义

定理：

假设 $A\in R^{n\times n}$，且 A 的特征值都是实数，那么 A 正交相似于对角阵的充要条件为 A 是正规矩阵，即 $A^A=A{A}^T$。

性质

case 1

$$L\in {\mathrm{R}}_{n\times n},\mathrm{eig}\left(L^{T}L\right)=\mathrm{eig}\left(L{L}^T\right)$$

proof 1

$$\begin{gathered} L^{T}Lx=\lambda x\Rightarrow L{L}^{T}Lx=L\lambda x=\lambda Lx \\ \Rightarrow L{L}^T\left(Lx\right)=\lambda \left(Lx\right) \end{gathered}$$

参考

• 为什么实对称矩阵一定能对角化？ - 知乎 (zhihu.com)