Chap1 向量空间

randolf2022年8月9日

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定义

在给定了一个域 F 后，考虑向量空间定义为一个带有加法和标量乘法的集合 V，使得其满足这样的一些性质：

首先定义加法和标量乘法

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定义加法和标量乘法：

从而我们可以定义一个向量空间

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向量空间是带有加法和标量乘法的集合V，满足下面的性质：

\forall u, v, w \in V, a, b \in F (u + v) + w = u + (v + w) (ab) v = a (b v)

\forall a, b \in F u, v \in V a (u + v) = a u + a v (a + b) v = a v + b v

不难根据定义证明，加法单位元 和 加法逆元 唯一

存在了一个空间，进一步可以定义扩充向量空间的集合，这就引入了子空间。

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如果一个向量空间V的子集U（采用和V相同的加法和标量乘法）也是向量空间，那么称U是V的子空间

也就是说，根据前面的定义，子空间需要满足下面几个条件：

注意标量乘法封闭性使得加法逆元自然成立 (-1)，其余的结合性、交换性、分配律在 V 上成立自然在其子集 U 上成立

考虑集合的子集构成子空间的条件后，我们可以将集合上的运算也类似平移到向量空间上。这带来了下面的定义：

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子空间的和假设 $U_{1}, \dots, U_{m}$ 都是V的子集，那么定义 $U_{1}, \dots, U_{m}$ 的和为其中元素所有可能的和偶成的集合，即：

U_{1} + \dots + U_{m} = {u_{1} + \dots + u_{m} ∣ u_{1} \in U_{1}, \dots, u_{m} \in U_{m}}

从上面可以看出，子空间的并和子空间的和是两个概念，子空间的并一般不是子空间（一个显然的例子是 x 轴点和 y 轴点的和）。

这里子空间的和效果上类似于集合论中子集的并，性质是相似的：

从上面的定义来看，子空间的和需要非常多的计算，我们感兴趣的是具有唯一性的情形，也就是 $U_{1} + \dots + U_{m}$ 中每个向量都可以惟一的表示成 $u_{1} + \dots + u_{m}$ ，这引入了直和的定义

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直和的定义假设 $U_{1}, \dots, U_{m}$ 都是V的子空间

和 $U_{1} + \dots + U_{m}$ 称为直和，如果 $U_{1} + \dots + U_{m}$ 中的每个元素都可以惟一的表示成 $u_{1} + \dots + u_{m}$ ，其中每个 $u_{i}$ 属于 $U_{i}$
若 $U_{1} + \dots + U_{m}$ 是直和，那么使用 $U_{1} \oplus \dots \oplus U_{m}$ 来表示直和

根据我们的设计，直和的定义要求空间中的每个向量都能惟一的表示成一个恰当的和。而事实上，不需要考虑所有向量，我们的结果表明只需要考虑 0 是否可以惟一的写成一个恰当的和/加法单位元。