Chap2 拓扑空间

拓扑空间定义和性质

什么事拓扑

note

我们引入拓扑空间(topology space)的想法是：

一个几何上的拓扑给我们提供了一个具有下面2个性质的最弱的结构：

• 集合中点集的收敛(convergence of sequences to points in a set)
• 两个集合之间的映射的连续性(continuity of maps between 2 sets)

^note-why-topo

拓扑空间

集合 M 上定义一个拓扑 (topology) $\mathcal{O}$，为：$\mathcal{O}\subseteq \mathcal{P}\left(M\right)$ 且：

1. $\oslash \in \mathcal{O}\mathrm{and}M\in \oslash$
2. $\left\{U,V\right\}\subseteq \mathcal{O}\Rightarrow \cap \left\{U,V\right\}\in \mathcal{O}$
3. $C\subseteq \mathcal{O}\Rightarrow \cup C\in \mathcal{O}$

这个配对 $\left(M,\mathcal{O}\right)$ 就是我们所说的拓扑空间 (topology space).

^def-topo

remark

注意正如前面定义 N, Z, R 这些数域使用集合的角度来定义，这里的拓扑也是一个集合的角度来定义的。实际上我们所说的很多结构，都是一些具有特殊性质的集合

remark

除非 $|M|=1$, 一般来说对一个集合M我们有很多种选取拓扑的方法：

集合M的势	拓扑数量
1	1
2	4
3	29
4	355
5	6942
6	209527
7	9535241

remark

• 假定 $M=\{a,b,c\}$，那么我们可以选取 $\mathcal{O}=\left\{\oslash ,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}$ 就是一个可行的拓扑
• 假定 M 是一个集合，那么我们可以选取拓扑 $\mathcal{O}=\left\{\oslash ,M\right\}$ 是一个合理的拓扑
  • 按照这样构造的拓扑被称为 chaotic topology，显然可以应用在任何集合上
• 假定 M 是一个集合，那么我们可以选取拓扑 $\mathcal{O}=\mathcal{P}\left(M\right)$
  • 这样构造的拓扑显然是合适的，我们称其为discrete topology
• 如果 ${\mathcal{O}}_1,{\mathcal{O}}_2$ 是集合M上的2个拓扑，如果 ${\mathcal{O}}_1\subset {\mathcal{O}}_2$，那么我们称 ${\mathcal{O}}_1$ 是比 ${\mathcal{O}}_2$ 更弱的(coarser/weaker topology). 等价的，我们称 ${\mathcal{O}}_2$ 是更强的(finer/stronger topology)
  • 显然chaotic topology 是最弱的，discrete topology是最强的
  • 后面展开讲拓扑空间性质的时候会明白为什么说最强/最弱

^remark-chaotic-discrete-topo

拓扑空间性质展开

集合开集

开集

如果 $\left(M,\mathcal{O}\right)$ 是一个拓扑空间，那么可以定义 M 的子集 S 是 开的(open with respect to $\mathcal{O}$): 集合 $S\in \mathcal{O}$；反过来，子集 S 是闭的 (with respect to $\mathcal{O}$)，如果 $M\backslash S\in \mathcal{O}$(补集是开集)

^def-open-set

remark

很容易误解的一点是，开集和闭集不是互斥的，一个集合可以是开集也可以是闭集。此外，根据我们的定义，开集是依赖于拓扑的，相同的子集在不同的拓扑下可能会在开集和闭集之间变换

example

• $\left(M,\mathcal{O}\right)$ 是一个拓扑空间，$\oslash$ 是开的因为 $\oslash \in \mathcal{O}$。但是 $\oslash$ 也是闭的因为 $M\backslash \oslash =M\in \mathcal{O}$。对 M 也是一样的
• 假定 $M=\{a,b,c\}$，那么我们可以选取 $\mathcal{O}=\left\{\oslash ,\left\{a\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}$，那么 $\left\{a\right\}$ 是开的，但不是闭的， $\left\{b\right\}$ 是既不是开的也不是闭的

标准拓扑

为了将拓扑更容易地应用到技术上，即定义在 ${\mathbb{R}}^d$ 上的 标准拓扑 (standard topology)，其中 $\mathbb{R}$ 为：

$${\mathbb{R}}^d:=\underset{d\mathrm{times}}{\underbrace{\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \cdots \mathbb{R}}}$$

我们给出一些辅助的定义：

开球

对 $x\in {\mathbb{R}}^d$ 且 $r\in {\mathbb{R}}^{+}:=\left\{s\in \mathbb{R}|s>0\right\}$，我们定义在点 x 处的 开球(open ball)：

$$B_r\left(x\right):=\left\{y\in {\mathbb{R}}^d|\sqrt{\sum _{i=1}^d{\left(y_i-x_i\right)}^2}<r\right\}$$

其中 $x:=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_d\right)$ 而且 $y:=\left(y_1,y_2,\cdots ,y_d\right)$ 其中 $x_i,y_i\in \mathbb{R}$

^def-open-ball

remark

上面的 $\sqrt{{\sum }_{i=1}^d{\left(y_i-x_i\right)}^2}$ 实际上是 2 范数，但考虑到范数的定义依赖于集合上的 线性空间结构，而我们还没有定义。不过我们这套定义的思路可以延展到不同的范数上去，这些范数导出的开球导出的标准拓扑具有相同的结构

标准拓扑

${\mathbb{R}}^d$ 上的标准拓扑 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}$ 被定义为：

$$U\in {\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}:\iff \forall p\in U:\exists r\in {\mathbb{R}}^{+}:B_r\left(p\right)\subseteq U$$

^def-standard-topo

直观上来看，我们定义的标准拓扑是说其中任取一个点，这个点周围可以构造一个开球，这个开球也在拓扑范围中。我们将证明，定义的标准拓扑 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}$ 和 ${\mathbb{R}}^d$ 构成的 $\left({\mathbb{R}}^d,{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}\right)$ 是一个拓扑空间：

theorem

从现有拓扑构造新的拓扑

Induced Topology

假设我们已经有了一个拓扑 $\left(M,\mathcal{O}\right)$，集合 $M$ 有子集 $N\subset M$，那么我们定义：

$$\mathcal{O}{|}_N:=\left\{U\cap N|U\in \mathcal{O}\right\}\subseteq \mathcal{P}\left(N\right)$$

^def-sub-top

可以证明，这是一个在 $N$ 上的拓扑，被称为**induced(subset) topology **

example

考虑配备了 标准拓扑 的 $R$，考虑：

$$N=\left[-1,1\right]:=\left\{x\in \mathbb{R}|-1⩽x⩽1\right\}$$

那么根据 子集拓扑 定义，我们有 $\left(N,{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}{|}_N\right)$ 是一个拓扑空间。考虑集合 $(0,1]$，其在 $\left(\mathbb{R},{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}\right)$ 显然不是开集；然而，在 $\left(N,{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}{|}_N\right)$ 上：

$$\left(0,1\right]=\left(0,2\right)\cap \left[-1,1\right]$$

这意味着 $\left(0,1\right]\in {\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}{|}_N$，从而 $\left(0,1\right]$ 在 $\left(N,{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}{|}_N\right)$ 上是开集。集合，很神奇吧！

Quotient Topology

note

详细的介绍可以参考^[1]

quotient topology

假设我们已经有了一个拓扑 $\left(M,\mathcal{O}\right)$，$\sim$ 是 M 上的一个等价关系，那么在 M 上可以定义等价类/商集：

$$M/\sim =\left\{\left[m\right]\in \mathcal{P}\left(M\right)|m\in M\right\}$$

对商集我们按照 Induced Topology 类似的思路，装备拓扑：

$${\mathcal{O}}_{M/\sim }:=\left\{U\in M/\sim |\left(\cup U\right)=\left(\bigcup _{\left[a\right]\in U}a\right)\in \mathcal{O}\right\}$$

针对上式的一个等价定义是：

考虑映射

$$\begin{array}{c}q:M\to M/\sim \\ m\mapsto \left[m\right]\end{array}$$

新拓扑可以表示为：

$$\mathcal{O}{|}_{M/\sim }:=\left\{U\in M/\sim |{\mathrm{preim}}_q\left(U\right)\in \mathcal{O}\right\}$$

^def-quotient-topo

这里的 quotient topology 定义确实看起来比较奇怪，可以参考 ^[2] 进行解释：

想象我们有一个 $R$ 上的集合 $M:=[0,1]$，其继承了 R 上的标准拓扑。在这个集合上考虑一个简单的等价关系 $\sim$，其将这个集合划分为两类，一类为 2 点 $\{0,1\}$.

note

literally 就只有这 2 个点，代表着这个拓扑空间 M 上的起点和终点，这个说法是想象我们是住在这个空间 M 上的生物，所谓的内蕴几何

另一类是其余的 $\{x\in M|0<x<1\}$。显然这构成了一个等价类。考虑在这个商集上定义一个映射，可以将其 一一映射 到圆环上：

$$h:\left[0,1\right]/\sim \to S^1:p\mapsto \{\begin{array}{l}\left(\cos 2\pi x,\sin 2\pi x\right),\\ \left(1,0\right),\end{array}\begin{array}{l}\mathrm{if}p=\left\{x\right\}\\ \mathrm{if}p=\left\{0,1\right\}\end{array}$$

这显然是一个定义在该商集上的一一映射 (毕竟一共 2 个元素)，而对于这个商集来说，确实就和圆环构成了一一映射，表示这两个空间是同构的。

现在来看我们对 quotient topology 的定义。由于一共只有 2 个元素，首先对 $\{x\}$ 进行检验，有：

$$\left(\cup \left\{x\right\}\right)=\left(0,1\right)\in \mathcal{O}$$

这里的 $(0,1)$ 代表的是集合 M 的子集，确实是一个开集嘛，因此 $\left\{x\right\}\in \mathcal{O}{|}_{M/\sim }$

对于元素 $\{0,1\}$ 进行检验：

$$\left(\cup \left\{0,1\right\}\right)=\left\{0,1\right\}\notin \mathcal{O}$$

因为在 R 上不存在一个开集使得其交 $[0,1]$ 为其两端点，因此这表示这个 quotient topology 为：

$$\mathcal{O}{|}_{M/\sim }=\left\{\oslash ,M/\sim ,\left\{x\right\}\right\}$$

一共这 3 个元素。

如果脱离我们 " 生活在 M 上的视角 "，将其放到圆环的角度来看。由于存在一一映射 h，表明这个商集和圆环是同构的，从而其上的拓扑可以完全一样的延展到圆环上。这样延展过去的拓扑是：

$$h\left(\mathcal{O}{|}_{M/\sim }\right)=\left\{\oslash ,S^1,S^1-\left(1,0\right)\right\}$$

这里的 $S^1-\left(1,0\right)$ 的意思是排除了 $(1,0)$ 点的圆环。

如果将圆环上的拓扑看成从 $R^2$ 上的标准拓扑继承下来的，那么其拓扑为圆环上所有圆弧的集合，显然包含了上面的拓扑，这也体现了视角的不同。

corollary

可以将商空间和quotient topology看成一个弯折的过程，在上面的例子中就是将线段首尾相接粘到一起。

note

更进一步的，参考连续性的定义后，我们定义的quotient topology实际上是使得变换h连续的最大拓扑，相关说理参考 ^[2:1] ：

example

考虑一个圆环 (1-sphere) 集合：

$$S^1:=\left\{\left(x,y\right)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2=1\right\}$$

在其上装备继承于 $R^2$ 的标准拓扑。在该圆环上的开集就是一些开圆弧；在其上的单独的点显然不是开集，因为无法在 $R^2$ 上找到一个开集使其与该圆环只交于该点；但这样的单点是闭集，因为其补集是开圆弧，是开集。

针对上面这个圆环集合，还可以换一个角度考虑。考虑 $R$ 上的等价关系 $\sim$ ：

$$x\sim y:\iff \exists n\in \mathbb{Z}:x=y+2\pi n$$

那么这个圆环可以看成集合 $S^1:=\mathbb{R}/\sim$ 装备上其对应的 quotient topology

^example-quotient-2

problem

#todo 如果我们定义原集合M上的等价关系不是那么简单，参考^example-quotient-2中的集合和等价关系，按照定义，其quotient topology似乎是chaotic topology?

Product Topology

考虑 $\left(A,{\mathcal{O}}_A\right),\left(B,{\mathcal{O}}_B\right)$ 是 2 个拓扑空间，那么考虑 A 和 B 的笛卡尔积构成的新集合，给此新集合构造拓扑：

$${\mathcal{O}}_{A\times B}:\iff \forall p\in U:\exists \left(S,T\right)\in {\mathcal{O}}_A\times {\mathcal{O}}_A:S\times T\subseteq U$$

具体解释参考：

remark

这一product topology 很容易拓展到n-fold 的cartestian product 上，而这一结果的直接体现就是：

$${\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}={\mathcal{O}}_{\underset{d\mathrm{times}}{\underbrace{\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \cdots \times \mathbb{R}}}}$$

收敛性

为了定义收敛性，我们首先定义所谓的序列：

假定 M 是一个集合，M 中的一个序列 (sequence of points) 是一个映射 $q:\mathbb{N}\to M$

据此我们给出收敛的定义：

Convergence

假定 $\left(M,\mathcal{O}\right)$ 是一个拓扑空间，称 M 中的一个序列 q 是收敛到一个极限点 a：

$$\forall U\in \mathcal{O}:a\in U\Rightarrow \exists N\in \mathbb{N}:\forall n>N:q\left(n\right)\in U$$

^def-convergency

note

本身这一定义就很想大一的极限定义：对极限点的任意开邻域，存在足够大的N，使得对序列的N之后的点其落在这个开邻域中

现在我们将初步解答 chaotic topology 为什么这么“弱”, discrete topology 为什么这么”强“：

example

考虑给 M 装备 chaotic topology $\left(M,\left\{\oslash ,M\right\}\right)$，那么 M 中的任何序列收敛到 M 中的任何点，因为这个 chaotic topology 只有 1 个非空元素就是其本身

反过来，考虑装备 discrete topology$\left(M,\mathcal{P}\left(M\right)\right)$，那么 只有基本上是常值的序列可以收敛，因为可以考虑极限点 a 的一个开邻域 $\left\{a\right\}$(这确实是开邻域，既是开的，又包含 a)，这意味着在足够大的 N 之后吗，序列就是 a

example

考虑一个集合 $\mathbb{R}$，在其上考虑一个序列 $q=1-\frac{1}{n+1}$，那么 q 不是基本常值，因此在 $\left(\mathbb{R},\mathcal{P}\left(\mathbb{R}\right)\right)$ 其不是收敛的，但是在 $\left(\mathbb{R},{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}\right)$ 上其是收敛的

连续性

continuity

$\left(M,{\mathcal{O}}_M\right),\left(N,{\mathcal{O}}_N\right)$ 是 2 个拓扑空间，且 $\varphi :M\to N$ 是一个映射。那么我们说 $\varphi$ 是 连续的(针对其对应的拓扑)，当且仅当：

$$\forall S\in {\mathcal{O}}_N,{\mathrm{preim}}_{\varphi }\left(S\right)\in {\mathcal{O}}_M$$

其中 ${\mathrm{preim}}_{\varphi }\left(S\right):=\left\{m\in M|\varphi \left(M\right)\in S\right\}$ 是 S 在映射 $\varphi$ 下的原相

总结来说，我们说映射$\varphi$是连续的，当且仅当开集的原相也是开集

^def-continuity

我的理解

#todo 或许反过来说上面的定义可能就不对了(约束太强)。比如考虑 $M=R^2$, $N=R$，两者装备标准拓扑。映射 $\psi$ 在这个3维空间中是一根直线，那么根据连续性定义，其不是连续的？因为对N中的一个开集，其原相对应的是一个开线段，在 $R^2$ 的标准拓扑中似乎不是开的？

更进一步，考虑 $M=N=R$，映射 $\psi$ 是一个直线，比如y轴，那么类似的理由，逆映射是一个点，也不是开的。

这两点共同在于似乎降维了，不知道对不对。和我们一般的理解连续可能不太一样

注意上面的映射并不是在M上所有元素有定义，是不是不符合我们定义？因为一般我们会有${\mathrm{preim}}_{\varphi }\left(N\right)=M$这暗示我们映射是在M上所有元素有定义的

example

我们考虑 M 装备 discrete topology 或者 N 装备 chaotic topology，那么任意映射 $\psi :M\to N$ 都是连续的。

同胚

homeomorphism

我们考虑 $\left(M,{\mathcal{O}}_M\right),\left(N,{\mathcal{O}}_N\right)$ 是 2 个拓扑空间，有一个双射 $\varphi :M\to N$ 是一个 同胚(homeomorphism)，如果：$\varphi :M\to N$ 和 ${\varphi }^{-1}:N\to M$ 是连续的

^def-homeomorphism

同胚是在拓扑意义下保持 结构 的变换，类似于集合意义上的双射，不过保持了更多的结构信息。

如果在 $\left(M,{\mathcal{O}}_M\right),\left(N,{\mathcal{O}}_N\right)$ 之间存在同胚，我们说这两个空间是同胚的 (homeomorphic) 或者说是拓扑同态的 (topologically isomorphic)，记为 $\left(M,{\mathcal{O}}_M\right){\text{≌}}_{\mathrm{top}}\left(N,{\mathcal{O}}_N\right)$

拓扑空间上的不变量

我们说不变量意思是说，两个 homeomorphic 的 space 共享这一个性质.

拓扑空间的分离性质

T1

我们称一个拓扑空间 $\left(M,\mathcal{O}\right)$ 是 T1 的，如果对任意两个 M 中的不同的点 $p\ne q$ ：

$$\exists U\left(p\right)\in \mathcal{O}:q\notin U\left(p\right)$$

这里的 $U(p)$ 代表一个包含 p 的开邻域。

^def-T1-topo

T2/hausdorff

我们称一个拓扑空间 $M,\mathcal{O}$ 是 T2 的 (Hausdorff)，果如 M 中任意两个不同的点 $p\ne q$ ：

$$\forall p,q\in M,p\ne q\Rightarrow \exists U\left(p\right),V\left(q\right)\in \mathcal{O}:U\left(p\right)\cap V\left(q\right)=\oslash$$

^def-T2-topo

容易发现，标准 d 维空间 $\left(R^d,{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}\right)$ 是 T2 的，因此是 T1 的；拓扑空间 $\left(M,\left\{\oslash ,M\right\}\right)$ 不是 T1 也不是 T2 的。

remark

除了T1, T2之外，还有很多Tx，比如 $T2\frac{1}{2}$ 和T2很想，只不过邻域是闭的

note

并不是说是T1的一定是T2，比如Zariski topology on an algebraic variety 是T1的而不是T2的

紧性和仿紧性

cover

对一个拓扑空间 $(M,\mathcal{O})$，称一个集合 $C\subseteq \mathcal{P}(M)$ 是集合 M 的一个覆盖 (cover):

$$\cup C=M$$

更进一步，如果 $C\subseteq \mathcal{O}$，称 C 是一个开覆盖 (open cover)

^def-cover

subcover

针对 cover C，如果其中有一个子集 $\tilde{C}\subseteq C$ 使得 $\tilde{C}$ 也是一个覆盖，那么将 $\tilde{C}$ 称为一个子覆盖 (subcover)。如果这个子集 $\tilde{C}$ 是有限的 (作为集合 Axiom of Infinity)，称是一个有限子覆盖

^def-subcover

在上面两个基础上，我们可以定义拓扑空间的 紧性：

compact

一个拓扑空间 $(M,\mathcal{O})$ 是紧的 (compact)，如果任何一个开覆盖存在有限子覆盖

^def-compact

根据 Induced Topology 的思想，我们自然会研究其上子集的紧性：

definition

如果拓扑空间 $(M,\mathcal{O})$ 是拓扑空间，$N\subseteq M$ 被称为紧的，如果拓扑空间 $(N,\mathcal{O}{|}_N)$ 是紧的

从紧性的定义来看，其涉及到一个存在性的证明，一般而言是不易证明的。但是，针对装备了标准拓扑的 $R^d$ 而言，可以通过简单的判断方法决定其是否是紧的：

Heine-Borel

假定 $R^d$ 装备了标准拓扑 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}$，那么 $R^d$ 的一个子集是紧的，当且仅当其是闭的且有界的 (closed and bounded)

这里的有界指的是：$\exists r\in {\mathbb{R}}^{+}:S\subseteq B_r\left(0\right)$

对上面的结论，也可以推广到任意的度量空间 (metric space)。

metric space

我们说一个度量空间是一个组 (pair)：(M,d)，其中 M 是一个集合，$d:M\times M\to \mathbb{R}$ 是一个映射，对 $\forall x,y,z\in M$ 有：

• $d\left(x,y\right)⩾0$
• $d\left(x,y\right)=0\iff x=y$
• $d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)$
• $d\left(x,y\right)⩽d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right)$

^def-metrix-space

remark

对带有度量的集合 M，可以按照前面 标准拓扑 的思路构造开球，从而得到拓扑

$$U\in {\mathcal{O}}_d:\iff \forall p\in U:\exists r\in {\mathbb{R}}^{+}:B_r\left(p\right)\subseteq U$$

其中开球定义为：

$$B_r\left(p\right):=\left\{x\in M|d\left(p,x\right)<r\right\}$$

在此意义下，我们可以证明，度量空间 $(M,d)$ 的子集 $S\subseteq M$ 是紧的，当且仅当其是 complete 的且有界的。

关于这个的讨论可以参考 泛函分析 和一些博客 ^[3][4]

example

注意例子5.7中的$(-1,2)$确实是一个单元素集合：$\{(-1,2)\}\in \mathcal{O}$，是R上标准拓扑的一个单元素子集，是开集，其势=1，因此是有限的

研究了子集的紧性后，还是按照延展拓扑性质的思想，考虑笛卡儿积的紧性：

theorem

假设 $(M,{\mathcal{O}}_M)$ 和 $(N,{\mathcal{O}}_N)$ 是 2 个紧的拓扑空间，那么装备了Product Topology的笛卡尔积空间$\left(M\times N,{\mathcal{O}}_{M\times N}\right)$是一个紧的拓扑空间

因为紧性是一个相当强的条件，很多时候我们没办法保证空间具有这个性质，因此退而求其次我们考虑一些更弱的性质。从而引出 refinemet 的定义：

refinement

假设 $(M,\mathcal{O})$ 是一个拓扑空间，C 是一个覆盖。A refinement of C 是一个覆盖 R 使得：

$$\forall U\in R:\exists V\in C:U\subseteq V$$

直觉上来看，R 确实可以说的 C 的一个“精炼”，我们前面定义的子覆盖就是 refinement 的一个特例，但是反过来并不一定。

refinement 可以具有一些特性：

• 开的：如果 refinement R 满足 $R\subseteq \mathcal{O}$
• locally finite：如果任意 $p\in M$ 存在一个开邻域 $U\left(p\right)$ 使得集合 $\left\{V\in R|V\cap U\left(p\right)\ne \oslash \right\}$ 是有限的

根据上面的性质，可以提出 paracompact 的定义：

paracompact

一个拓扑空间 $(M,\mathcal{O})$ 是 paracompact 的，如果：任意开覆盖具有一个 open refinement 而且其是 locally finite 的

^def-paracompact

corollary

如果一个拓扑空间是紧的，那么他也是paracompact的

如果使用 paracompact 的定义，我们很难进行分析，因此给出下面一个简单的判断准则。

Stone

任何metrisable space 都是 paracompact的

其中 metrisable space 定义为：

一个拓扑空间 $(M,\mathcal{O})$ 是 metrisable 的，如果存在一个度量 d 使得其导出的拓扑就是 $\mathcal{O}$，也即 $\mathcal{O}={\mathcal{O}}_d$

example

举例来说，我们知道 $\left({\mathbb{R}}^d,{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}\right)$ 是 metrisable 的，因为其对应度量 $\Vert \cdot {\Vert }_2$，从而其是 paracompact 的。

paracompactness 是一个非常普遍的性质，以至于找到的不具有这个性质的空间都是 " 人工雕琢 " 的，其中一个例子是 long line(Alexandroff line)。为了构造这一空间，我们首先注意到可以通过 $\mathbb{Z}\times \left[0,1\right)$ 来构造 $\mathbb{R}$，而这个 long line L 就是被定义为：$w_1\times \left[0,1\right)$，其中 ${\omega }_1$ 是一个不可数的无限集合。

---

现在我们有了 paracompact 和 compact，可以开始研究两者之间的关系了：

• 一个 paracompact 空间 $(M,{\mathcal{O}}_M)$ 和 compact 空间 $(N,{\mathcal{O}}_N)$，考虑 $M\times N$ 装备上 product topology, 可以证明结果是 paracompact 的
• 这意味着，paracompact 是可传染的…

假设 $(M,{\mathcal{O}}_M)$ 是拓扑空间，定义 M 上的 partition of unity 是一个集合 F，其中包含的是从 M 到区间 $[0,1]$ 的连续映射，且对 $\forall p\in M$ 满足：

• 存在开邻域 $U(p)$ 使得集合 $\left\{f\in \mathcal{F}|\forall x\in U\left(p\right):f\left(x\right)\ne 0\right\}$ 是有限的
• ${\sum }_{f\in \mathcal{F}}f\left(p\right)=1$

如果 C 是一个开覆盖，称 $\mathcal{F}$ 是 subordinate to the cover C，如果：

$$\forall f\in \mathcal{F}:\exists U\in C:f\left(x\right)\ne 0\Rightarrow x\in U$$

关于这一点的讨论可以参考 ^[5]

remark

定义 partition of subordinate实际上是为了后面定义积分来做的，重点在于finite上来避免convergency的讨论

通过上面定义的 partition of unity 和 subordinate，我们可以更快的判断一些特殊空间是不是 paracompact 的：

theorem

假设 $(M,{\mathcal{O}}_M)$ 是一个 Hausdorff 拓扑空间，那么 $(M,{\mathcal{O}}_M)$ 是 paracompact 的当且仅当任何开覆盖 admits a partition of unity subordinate to that cover

example

note

感觉有种分段讨论的意思，可以将不同部分分开看？说不清楚...

Connectedness And Path-connectedness

从直觉上我们可以给出连通的定义：

connectedness

一个拓扑空间是连通的，除非存在 2 个非空、不相交的 开集A,B 使得：$M=A\cup B$

^def-connect

note

注意既然是开集，那么连通与否自然和拓扑选取有关，比如我们选取chaotic topology, 那么所有的空间都是连通的

移动：我有话说

考虑 $\left\{\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\},{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}{|}_{\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}}\right\}$，这个拓扑空间不是连通的，因为可以找到 2 个不相交的非空开集：$(-\infty ,0)$ 和 $(0,\infty )$ 满足条件

根据定义，容易发现，一个拓扑空间 $(M,\mathcal{O})$ 是连通的，当且仅当其既开又闭的子集仅为：$\oslash ,M$

拓展定义，考虑定义：path-connectedness

path-connectedness

一个拓扑空间 $(M,\mathcal{O})$ 被称为 path-connectedness, 如果任何一对点 $p,q\in M$，存在一条连续的曲线 $\gamma :\left[0,1\right]\to M$ 使得 $\gamma \left(0\right)=p$，$\gamma \left(1\right)=q$。这里的连续性在 ^def-continuity 中定义

^def-path-connectedness

`::: note remark path-connectedness 是比 connectedness 更强的性质，连通的不一定可以找到这样的连续曲线，比如：

考虑 $S:=\left\{\left(x,\sin \frac{1}{x}\right)|x\in \left(0,1\right]\right\}\cup \left\{\left(0,0\right)\right\}$，且装备了从 $R^2$ 继承的拓扑，那么 $\left(S,{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}{|}_S\right)$ 是连通的，但不是 path-connectedness

::: functionplot

title: test xLabel: yLabel: bounds: [0,1,-1,1] disableZoom: false grid: true

f(x)=sin(1/x)

Homotopic Curves and the Fundamental Group

definition

考虑 $(M,\mathcal{O})$ 中的 2 条曲线， $\gamma ,\delta :\left[0,1\right]\to M$ 使得：

$$\gamma \left(0\right)=\delta \left(0\right)\gamma \left(1\right)=\delta \left(1\right)$$

且存在一个连续映射 $h:[0,1]\times [0,1]\to M$，使得对所有的 $\lambda \in [0,1]$:

$$h(0,\lambda )=\gamma (\lambda )h(1,\lambda )=\delta (\lambda )$$

称这两条曲线是 homotopic/同伦

^def-homotopic

容易发现，同伦其实是一种 等价关系，那么我们可以在任意的拓扑空间上定义其对应的等价类，这就可以诱导出某种不变量。为此我们先定义 Space of loops

space of loops

考虑拓扑空间 $(M,\mathcal{O})$, 对 M 中的所有点 $p\in M$ 定义 space of loops

$${\mathcal{L}}_p:=\left\{\gamma :\left[0,1\right]\to M|\gamma \mathrm{iscontiniousand}\gamma \left(0\right)=\gamma \left(1\right)=p\right\}$$

^def-space-of-loop

在 space of loops 上，我们定义 concatenation 连接操作 (某种意义上的加法？)：

$$\begin{gathered} \ast :{\mathcal{L}}_p\times {\mathcal{L}}_p\to {\mathcal{L}}_p \\ \left(\gamma \ast \delta \right)\left(\lambda \right):=\{\begin{array}{l}\gamma \left(2\lambda \right)\\ \delta \left(2\lambda -1\right)\end{array}\begin{array}{c}\mathrm{if}0⩽\lambda ⩽\frac{1}{2}\\ \mathrm{if}\frac{1}{2}⩽\lambda ⩽1\end{array} \end{gathered}$$

从而我们可以导出一个等价类：

fundamental group

考虑 $(M,\mathcal{O})$ 是拓扑空间，定义该空间的 p 点的 fundamental group ${\pi }_1(p)$ 是集合：

$${\pi }_1\left(p\right):={\mathcal{L}}_p/\sim =\left\{\left[\gamma \right]|\gamma \in {\mathcal{L}}_p\right\}$$

这里的等价关系 $\sim$ 指的是 homotopic(同伦)

在fundamental group上附带一个运算：

$$\begin{array}{c}\bullet :{\pi }_1\left(p\right)\times {\pi }_1\left(p\right)\to {\pi }_1\left(p\right)\\ \left(\gamma ,\delta \right)\mapsto \left[\gamma \right]\bullet \left[\delta \right]:=\left[\gamma \ast \delta \right]\end{array}$$

^def-fundamental-group

remark

注意，我们说一个群是一个集合附带一个 (双目) 运算构成的 pair$(G,\bullet )$：

• $\forall a,b,c\in G:\left(a\bullet b\right)\bullet c=a\bullet \left(b\bullet c\right)$
• $\exists e\in G:\forall g\in G:g\bullet e=e\bullet g=g$
• $\forall g\in G:\exists g^{-1}\in G:g\bullet g^{-1}=g^{-1}\bullet g=e$

此外，如果可交换 $a\bullet b=b\bullet a:\forall a,b\in G$ ，那么称这个群是阿贝尔群 (abelian/commutative)

类似集合的同构，可以定义群的 isomorphism：

在两个群 $(G,\bullet )$ 和 $(H,\circ )$ 之间的 group isomorphism 是一个双射 $\varphi :G\to H$ 使得：

$$\forall a,b\in G:\varphi \left(a\bullet b\right)=\varphi \left(a\right)\circ \varphi \left(b\right)$$

如果 2 个群 $(G,\bullet )$ 和 $(H,\circ )$ 之间存在 group isomorphism，我们称这两个群是 isomorphic(group)，记为：

$$G{\cong }_{\mathrm{grp}}H$$

参考 Chap2 群

考虑一个 2-sphere(球面) 为:

$$S^2:=\left\{\left(x,y,z\right)\in {\mathbb{R}}^3|x^2+y^2+z^2=1\right\}$$

其上装备了从 $R^3$ 上继承的拓扑。

该球面具有性质：任意一个点的任意 loop 都是 homotopic 的，从而我们知道在该球面上的 fundamental group(在任意点出) 是：

$$\forall p\in S^2:{\pi }_1\left(p\right)=1:=\left\{\left[{\gamma }_e\right]\right\}$$

考虑一个无限长圆柱 $C:=\mathbb{R}\times S^1$，装备了 Product Topology.

在 C 上的 loop 可以分为 2 种：绕着中心轴的，或者不绕中心轴的 (可以被连续地变形为一个点)。我们称绕着圆柱的次数为 winding number，具有不同 winding number 的 loop 是不同伦的

进一步，我们可以给出其 fundamental group 的结构:

$$\forall p\in C:\left({\pi }_1\left(p\right),\bullet \right){\cong }_{\mathrm{grp}}\left(\mathbb{Z},+\right)$$

考虑更复杂 的结构：2-torus：$T^2:=S^1\times S^1$，其上装备了 product topology：

类似地可以发现，其 fundamental group 可以表示为：

$$\forall p\in T^2:\left({\pi }_1\left(p\right),\bullet \right){\cong }_{\mathrm{grp}}\left(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z},+\right)$$

其中 $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ 上的 + 是 pairwise addition.

参考

引文

脚注

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1. https://faculty.etsu.edu/gardnerr/5210/notes/Munkres-22.pdf ↩︎

2. metric spaces - Understanding quotient topology - Mathematics Stack Exchange ↩︎ ↩︎

3. 怎么通俗的理解有界闭集，紧集，列紧集？ - 知乎 ↩︎

4. （I）Banach空间和不动点定理 3: 紧性 - 知乎 ↩︎

5. 怎么理解拓扑的仿紧性？ - 知乎 ↩︎