Chap4 微分结构

微分定义

引入新结构

^def-C0-compatible 中定义了 C0-compatible 的 atlas，我们知道任何 atlas 都是 C0-atlas。我们将进一步延展该概念，将其扩充到并不是很 trivial 的情形，得到流形上的微分

我们首先给出一个形式上的广义定义：

我们称一个流形上的 atlas $\mathcal{A}$ 是一个🌸-atlas 如果任意 2 个 chart $(U,x),(V,y)\in \mathcal{A}$ 是 🌸-compatible 的.

换句话说，要么 $U\cap V=\oslash$，要么 $U\cap \ne \oslash$，且从 $x(U\cap V)$ 到 $y(U\cap V)$ 的转移映射 (transition map) $y\circ x^{-1}$ 是 🌸的；C0-compatible 中的🌸就是 continious

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注意到，我们新建立的这个转移映射 $y\circ x^{-1}$ 是建立在两个 $R^d$ 之间的，那么根据数学分析的思路，我们完全可以研究其很多性质：

• 🌸=C0：就是 C0-compatible
• 🌸= $C^k$ ：代表 k 次连续 (可微)
• 🌸= $C^{\infty }$ ：代表光滑
• 🌸= $C^{\omega }$ ：代表映射是 (real) analytic，比光滑更强
• 🌸=complex：如果 $\text{dim}M$ 是偶数，且转移映射是连续的，满足 Cauchy-Riemann equations，我们可以称 M 是一个复流形，它的 complex dimension 是 $\frac{1}{2}\text{dim}M$

note

所谓的 Cauchy-Riemann equations 可以从下面这个角度来看：

我们知道 $R^2$ 和 $C$ 是同构的 (作为集合)，从而我们可以构造函数：

$$\begin{array}{l}f:R^2\to R^2\\ \left(x,y\right)\mapsto \left(u\left(x,y\right),v\left(x,y\right)\right)\end{array}$$

其中 $u,v:R^2\to R$，这对应于函数：

$$\begin{array}{l}f:C\to C\\ x+iy\mapsto u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)\end{array}$$

如果 u, v 是实可微的 (在 $(x_0,y_0)$ 处)，那么我们可以说 $f=u+iv$ 在点 $z_0=x_0+i{y}_0$ 处事复可微的，当且仅当：

$$\frac{\partial u}{\partial x}\left(x_0,y_0\right)=\frac{\partial v}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)\wedge \frac{\partial u}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)=-\frac{\partial v}{\partial x}\left(x_0,y_0\right)$$

这也可以简单地从可微角度推出来 ^[1]：

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这就是所谓的 Cauchy-Riemann equations。

whitney

对任意的 maximal atlas，且为 $C^k$ atlas，$k⩾1$，包含一个 $C^{\infty }$ atlas。进一步的，任意两个 maximal $C^k$ atlas ，如果具有一个相同的 $C^{\infty }$ atlas，那么他们是同一个 maximal $C^k$ atlas

上述定理直接表明，如果我们在一个 manifold 上找到了一个 $C^1$ atlas，那么我们就可以说在这个 manifold 上可以找到一个 $C^{\infty }$ atlas，这意味着我们考虑流形上微分的时候，只需要考虑 $C^k(k=1)$ 的情况，其可以直接导出高维的情形。

为了方便说明，我们给出 $C^k$ manifold 的定义：

Ck manifold

一个 $C^k$ manifold 是一个三元组 $(M,\mathcal{O},\mathcal{A})$，其中 $(M,\mathcal{O})$ 是一个拓扑流形，$\mathcal{A}$ 是一个 maximal $C^k$ atlas

^def-ck-manifold

通过引入🌸-compatible 的定义，我们构造出了 (maximal) 🌸-atlas，但是如果不是 maximal 的情况，其显然可能存在不同的 atlas 构造，那么自然需要澄清 2 个 atlas 之间是不是 compatible 的，也就是：

atlas compatible

2 个🌸-atlas $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 是 compatible 的，如果 $\mathcal{A}\cup \mathcal{B}$ 还是一个🌸-atlas，否则就是 incompatible 的

^def-atlas-compatible

example

考虑流形 $\left(M,\mathcal{O}\right)=\left(\mathbb{R},{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}\right)$，考虑 2 个 atlas：$\mathcal{A}=\left\{\left(\mathbb{R},{\mathrm{id}}_{\mathbb{R}}\right)\right\}$，$\mathcal{B}=\left\{\left(\mathbb{R},x\right)\right\},x:a\mapsto a^{\frac{1}{3}}$，显然这两个都是 atlas。注意到他们都只包含一个元素，从而必然满足相容条件，故 2 个都是 $C^{\infty }$ atlas（事实上，他们 2 个上面的唯一的 transition map 就是 ${\text{id}}_{\mathbb{R}}$）

考虑 2 个 atlas 的并集，即 $\mathcal{A}\cup \mathcal{B}=\left\{\left(\mathbb{R},x\right),\left(\mathbb{R},{\mathrm{id}}_{\mathbb{R}}\right)\right\}$，那么 transition map 有：

• ${\mathrm{id}}_{\mathbb{R}}\circ x^{-1}=a\mapsto a^3$ 是光滑的
• $x\circ {{\mathrm{id}}_{\mathbb{R}}}^{-1}=a\mapsto a^{\frac{1}{3}}$ 在 0 点一阶导数都不存在 这表明 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 不是 $C^1$ compatible 的

上面例子告诉我们可以在一个实数轴上装备 2 个不同的 且不相容 的 $C^{\infty }$ atlas，这似乎会导致微分运算时候的不确定性，但下面一小节将会考虑这个问题，并给出一个正面的结论

微分流形

我们给出下面的对微分流形的定义：

differentiable map

$\varphi :M\to N$ 是一个映射，其中 $\left(M,{\mathcal{O}}_M,{\mathcal{A}}_M\right)$ 和 $\left(N,{\mathcal{O}}_N,{\mathcal{A}}_N\right)$ 是 $C^k$ manifold。那么我们称映射 $\varphi$ 是 $C^k$ differentiable at $p\in M$ ，如果：

对某些 chart $(U,x)\in {\mathcal{A}}_M,p\in U$，$(V,y)\in {\mathcal{A}}_N,\varphi (p)\in V$，有映射 $y\circ \varphi \circ x^{-1}$ 在 $x(p)\in x(U)\subseteq {\mathbb{R}}^{\text{dim}M}$ 是 k 阶连续可微的，即:

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^def-differentiable-map

注意上面的定义里面只要找到一对 chart 满足可微条件就可以了，我们自然需要考虑定义是不是 well-defined：

我们证明，如果 $y\circ \varphi \circ x^{-1}$ 在 $x(p)$ 处通过 chart $\left(U,x\right)\in {\mathcal{A}}_M$ 和 $\left(V,y\right)\in {\mathcal{A}}_N$ 可微，那么 $\tilde{y}\circ \varphi \circ {\tilde{x}}^{-1}$ 也是可微的，在点 $\tilde{x}\left(p\right)$ 对所有的 chart $\left(\tilde{U},\tilde{x}\right)\in {\mathcal{A}}_M$ 以及 $\left(\tilde{V},\tilde{y}\right)\in {\mathcal{A}}_N$ 且 $\varphi \left(p\right)\in \tilde{V}$

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考虑上面的示意图，注意到 chart $(U,x)$ 和 $(\tilde{U},\tilde{x})$ 是同一个 atlas 中，从而映射 $\tilde{x}\circ x^{-1}$ 是 $C^k$ 可微的，类似的 $\tilde{y}\circ y^{-1}$ 是 $C^k$ 可微的。注意到：

$$\tilde{y}\circ \varphi \circ {\tilde{x}}^{-1}=\left(\tilde{y}\circ y^{-1}\right)\circ \left(y\circ \varphi \circ {\tilde{x}}^{-1}\right)\circ {\left(\tilde{x}\circ x^{-1}\right)}^{-1}$$

因此该映射是 $C^k$ 可微的，证毕

既然我们的 $C^k$ 可微映射定义是 well-defined，这意味着我们可以对 $C^k$ atlas 进行分析

example

考虑光滑流形 $\left({\mathbb{R}}^d,{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}},{\mathcal{A}}_d\right)$ 和 $\left({\mathbb{R}}^{d^{\prime }},{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}},{\mathcal{A}}_{d^{\prime }}\right)$，其中 ${\mathcal{A}}_d$ 和 ${\mathcal{A}}_{d^{\prime }}$ 是 maximal atlas，且分别包含了 chart $\left({\mathbb{R}}^d,{\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^d}\right)$ 和 $\left({\mathbb{R}}^{d^{\prime }},{\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^{d^{\prime }}}\right)$。考虑映射 $f:{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^{d^{\prime }}$，f 的可微性可以表示为：

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这意味着如果 f 是光滑的，等价于 ${\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^{d^{\prime }}}\circ f\circ {\left({\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^d}\right)}^{-1}=f$ 是光滑的

example

考虑 $\left(M,\mathcal{O},\mathcal{A}\right)$ 是一个 d 维光滑流形，取 $(U,x)\in \mathcal{A}$，那么映射 $x:U\to x\left(U\right)\subseteq {\mathbb{R}}^d$ 是光滑的。实际上，我们有：

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从而映射 $x:U\to x(U)$ 是光滑的，等价于映射 ${\mathrm{id}}_{x\left(U\right)}\circ x\circ x^{-1}={\mathrm{id}}_{x\left(U\right)}$ 是光滑的，而这是显然的

example

进一步的，我们可以发现，coordinate maps: $x^i:={\mathrm{proj}}_i\circ x:U\to \mathbb{R}$ 也是光滑的，事实上有：

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注意到 ${\mathrm{id}}_{\mathbb{R}}\circ x^i\circ x^{-1}={\mathrm{proj}}_i$，从而 $x_i$ 是光滑的

微分结构的分类

diffeomorphism

如果映射 $\varphi :M\to N$ 是 M, N 两个光滑流形之间的双射，如果 $\varphi$ 和 ${\varphi }^{-1}$ 都是光滑的，那么称 $\varphi$ 是一个微分同胚映射 (diffeomorphism)

^def-diffeomorphism

正如我们重申了多遍的，xx-morphism 就是保持结构的变换，这里的 diffeomorphism 就是在光滑流形之间保持结构的变换

diffeomorphic

两个流形 $\left(M,{\mathcal{O}}_M,{\mathcal{A}}_M\right)$，$\left(N,{\mathcal{O}}_N,{\mathcal{A}}_N\right)$ 被称为微分同胚 (diffeomorphic)，如果存在一个微分同胚映射 $\varphi :M\to N$，我们记为：$M{\cong }_{\mathrm{diff}}N$

^def-diffeomorphic

remark

事实上，微分同胚也构成了一个等价关系，正如(拓扑)同胚之拓扑空间。在研究微分结构的前提下，我们可以将微分同胚的空间看成一样的

既然这是一个等价关系，我们可以考虑一个很有趣的问题：

• how many smooth structures on a given topological space are there, up to diffeomorphism?

结论很神奇哈：微分同胚的数量取决于流形的维数！

Radon-Moise

M 是一个流形，其维数 $\text{dim}=1,2,\text{or}3$，那么在微分同胚的意义下，这里仅仅存在一个唯一的 M 上的光滑结构

回顾我们之前构造的 $\left(\mathbb{R},{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}\right)$ ，其装备了 2 个不同的 atlas $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$。如果将其分别扩充为 maximal atlas，那么我们得到了光滑流形 $\left(\mathbb{R},{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}},{\mathcal{A}}_{\max }\right)$ 和 $\left(\mathbb{R},{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}},{\mathcal{B}}_{\max }\right)$。显然，由于其具有 2 个不同的 atlas，那么这是 2 个不同的微分流形。但是根据上面的定理，$\text{dim}\mathbb{R}=1$，这表明这两个微分流形时同构的。

多么神奇，定义的抽象的微分结构居然依赖于其存在的几何实体，拓扑，很神奇吧！

但是上面的情形在 $\text{dim}\mathbb{R}>4$ 的时候就不一样了。对这种情形，我们使用一种被称为 surgery theory 的技术来分析问题。通过 cutting, replacing, gluing parts 来控制像 fundament group 之类的不变量。总之，总体思想是对超过 4 维的流形进行“手术”来理解其情况，最终结论表明，在一个拓扑空间上，只存在有限多的微分流形

注意到我们故意避开了 4 维的情形，聪明的你可能有预感了，结果是：

如果 M 是一个非紧的拓扑流形，那么在 M 上可以有无限多的不互相微分同胚的结构，特别的，对 $(\mathbb{R},{\mathcal{O}}_{\text{std}})$ 就是如此

对紧的 4 维拓扑流形，有一些部分的结论，下面给一个例子：

如果对流形 $(M,\mathcal{O})$，$\text{dim}M=4$，且有 $b_2>18$，其中 $b_2$ 是 second Betti number，那么 M 上可以有可数多的不微分同胚的结构

Betti number 被定义在 homology groups (代数意义) 上，但是直观上可以这么理解：

• $b_0$ 是一个空间上的联通的部分的数目
• $b_1$ 是一个空间上的圆环洞 (1 维) 的数目
• $b_2$ 是一个空间的 2 维的洞的数目

上面的结论告诉我们，如果一个紧流形有超过 18 个 2 维洞，那么其上面仅仅有可数多个微分结构，但是其仍然是无穷的…😅

参考

引 文

• Smooth Manifolds

脚注

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1. Cauchy–Riemann equations - Wikipedia ↩︎