Chap4 微分流形

randolf2022年9月4日
大约 9 分钟

Chap4 微分流形

微分定义

引入新结构

^def-C0-compatible 中定义了 C0-compatible 的 atlas,我们知道任何 atlas 都是 C0-atlas。我们将进一步延展该概念,将其扩充到并不是很 trivial 的情形,得到流形上的微分

我们首先给出一个形式上的广义定义:

我们称一个流形上的 atlas 是一个🌸-atlas 如果任意 2 个 chart 是 🌸-compatible 的.

换句话说,要么 ,要么 ,且从 的转移映射 (transition map) 是 🌸的;C0-compatible 中的🌸就是 continious

Chap4 微分结构 2022-09-04 14

注意到,我们新建立的这个转移映射 是建立在两个 之间的,那么根据数学分析的思路,我们完全可以研究其很多性质:

  • 🌸=C0:就是 C0-compatible
  • 🌸= :代表 k 次连续 (可微)
  • 🌸= :代表光滑
  • 🌸= :代表映射是 (real) analytic,比光滑更强
  • 🌸=complex:如果 是偶数,且转移映射是连续的,满足 Cauchy-Riemann equations,我们可以称 M 是一个复流形,它的 complex dimension 是

note

所谓的 Cauchy-Riemann equations 可以从下面这个角度来看:

我们知道 是同构的 (作为集合),从而我们可以构造函数:

其中 ,这对应于函数:

如果 u, v 是实可微的 (在 处),那么我们可以说 在点 处事复可微的,当且仅当:

这也可以简单地从可微角度推出来 [1]

Chap4 微分结构 2022-09-04 14

这就是所谓的 Cauchy-Riemann equations。

whitney

对任意的 maximal atlas,且为 atlas,,包含一个 atlas。进一步的,任意两个 maximal atlas ,如果具有一个相同的 atlas,那么他们是同一个 maximal atlas

上述定理直接表明,如果我们在一个 manifold 上找到了一个 atlas,那么我们就可以说在这个 manifold 上可以找到一个 atlas,这意味着我们考虑流形上微分的时候,只需要考虑 的情况,其可以直接导出高维的情形。

为了方便说明,我们给出 manifold 的定义:

Ck manifold

一个 manifold 是一个三元组 ,其中 是一个拓扑流形, 是一个 maximal atlas

^def-ck-manifold

通过引入🌸-compatible 的定义,我们构造出了 (maximal) 🌸-atlas,但是如果不是 maximal 的情况,其显然可能存在不同的 atlas 构造,那么自然需要澄清 2 个 atlas 之间是不是 compatible 的,也就是:

atlas compatible

2 个🌸-atlas 是 compatible 的,如果 还是一个🌸-atlas,否则就是 incompatible 的

^def-atlas-compatible

example

考虑流形 ,考虑 2 个 atlas:,显然这两个都是 atlas。注意到他们都只包含一个元素,从而必然满足相容条件,故 2 个都是 atlas(事实上,他们 2 个上面的唯一的 transition map 就是

考虑 2 个 atlas 的并集,即 ,那么 transition map 有:

  • 是光滑的
  • 在 0 点一阶导数都不存在 这表明 不是 compatible 的

上面例子告诉我们可以在一个实数轴上装备 2 个不同的 且不相容 atlas,这似乎会导致微分运算时候的不确定性,但下面一小节将会考虑这个问题,并给出一个正面的结论

微分流形

我们给出下面的对微分流形的定义:

differentiable map

是一个映射,其中 manifold。那么我们称映射 differentiable at ,如果:

对某些 chart ,有映射 是 k 阶连续可微的,即:

Chap4 微分结构 2022-09-04 19

^def-differentiable-map

注意上面的定义里面只要找到一对 chart 满足可微条件就可以了,我们自然需要考虑定义是不是 well-defined:

我们证明,如果 处通过 chart 可微,那么 也是可微的,在点 对所有的 chart 以及

Chap4 微分结构 2022-09-04 20

考虑上面的示意图,注意到 chart 是同一个 atlas 中,从而映射 可微的,类似的 可微的。注意到:

因此该映射是 可微的,证毕

既然我们的 可微映射定义是 well-defined,这意味着我们可以对 atlas 进行分析

example

考虑光滑流形 ,其中 是 maximal atlas,且分别包含了 chart 。考虑映射 ,f 的可微性可以表示为:

Chap4 微分结构 2022-09-04 20

这意味着如果 f 是光滑的,等价于 是光滑的

example

考虑 是一个 d 维光滑流形,取 ,那么映射 是光滑的。实际上,我们有:

Chap4 微分结构 2022-09-04 20

从而映射 是光滑的,等价于映射 是光滑的,而这是显然的

example

进一步的,我们可以发现,coordinate maps: 也是光滑的,事实上有:

Chap4 微分结构 2022-09-04 20

注意到 ,从而 是光滑的

微分结构的分类

diffeomorphism

如果映射 是 M, N 两个光滑流形之间的双射,如果 都是光滑的,那么称 是一个微分同胚映射 (diffeomorphism)

^def-diffeomorphism

正如我们重申了多遍的,xx-morphism 就是保持结构的变换,这里的 diffeomorphism 就是在光滑流形之间保持结构的变换

diffeomorphic

两个流形 被称为微分同胚 (diffeomorphic),如果存在一个微分同胚映射 ,我们记为:

^def-diffeomorphic

remark

事实上,微分同胚也构成了一个等价关系,正如(拓扑)同胚之拓扑空间。在研究微分结构的前提下,我们可以将微分同胚的空间看成一样的

既然这是一个等价关系,我们可以考虑一个很有趣的问题:

  • how many smooth structures on a given topological space are there, up to diffeomorphism?

结论很神奇哈:微分同胚的数量取决于流形的维数!

Radon-Moise

M 是一个流形,其维数 ,那么在微分同胚的意义下,这里仅仅存在一个唯一的 M 上的光滑结构

回顾我们之前构造的 ,其装备了 2 个不同的 atlas 。如果将其分别扩充为 maximal atlas,那么我们得到了光滑流形 。显然,由于其具有 2 个不同的 atlas,那么这是 2 个不同的微分流形。但是根据上面的定理,,这表明这两个微分流形时同构的。

多么神奇,定义的抽象的微分结构居然依赖于其存在的几何实体,拓扑,很神奇吧!

但是上面的情形在 的时候就不一样了。对这种情形,我们使用一种被称为 surgery theory 的技术来分析问题。通过 cutting, replacing, gluing parts 来控制像 fundament group 之类的不变量。总之,总体思想是对超过 4 维的流形进行“手术”来理解其情况,最终结论表明,在一个拓扑空间上,只存在有限多的微分流形

注意到我们故意避开了 4 维的情形,聪明的你可能有预感了,结果是:

如果 M 是一个非紧的拓扑流形,那么在 M 上可以有无限多的不互相微分同胚的结构,特别的,对 就是如此

对紧的 4 维拓扑流形,有一些部分的结论,下面给一个例子:

如果对流形 ,且有 ,其中 second Betti number,那么 M 上可以有可数多的不微分同胚的结构

Betti number 被定义在 homology groups (代数意义) 上,但是直观上可以这么理解:

  • 是一个空间上的联通的部分的数目
  • 是一个空间上的圆环洞 (1 维) 的数目
  • 是一个空间的 2 维的洞的数目

上面的结论告诉我们,如果一个紧流形有超过 18 个 2 维洞,那么其上面仅仅有可数多个微分结构,但是其仍然是无穷的…😅

参考

引 文
脚注

  1. Cauchy–Riemann equations - Wikipediaopen in new window ↩︎

Loading...