mma推导函数微分矩阵

Mma 推导函数微分矩阵

定义

对于一些数学推导问题，如果手推可能会比较麻烦，这时使用 mma 进行符号推导可以加快计算速度，并且验算手算结果

比如下面的这个例子：

$$\begin{array}{c}F=|l_s-l_{k+N}{|}^2+\mu {\sum }_{i=1}^N{\left(l_{k+i}-l_{k+i-1}\right)}^2\\ F=\frac{1}{2}{x}^{T}Hx+f^{T}x\end{array}$$

为了求解 H 和 f，可以考虑使用 mma 进行计算。

计算代码如下：

M = 10;
Lseq = Table[L[k], {k, 1, M}];
LseqShift = Table[L[k], {k, 0, M - 1}];
QpProb = ( Ls - L[M])*( Ls - L[M]) + 
   mu*Total[Map[Function[x, x^2], Lseq - LseqShift]];
QpInfo = CoefficientArrays[D[QpProb, {Lseq}], Lseq];
fSeq = Normal[QpInfo[1](.//)] // MatrixForm
Hseq = Normal[QpInfo[2](.//)] // MatrixForm

注意这里首先对 F 进行了微分然后求解的结果。

最终问题结果为：

理论计算：

$$\begin{array}{rl}H& =\hat{H}+{\hat{H}}^T\\ \hat{H}& =\left(\begin{array}{cccc}2\lambda & & & \\ -2\lambda & \cdots & & \\ & \cdots & 2\lambda & \\ & & -2\lambda & 1+\lambda \end{array}\right)\end{array}$$

$$f=\left(\begin{array}{c}-2\mu l_k\\ 0\\ ⋮\\ -2l_s\end{array}\right)$$

mma 计算：

$$\left(\begin{array}{cccccccccc}4\mu & -2\mu & 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -2\mu & 4\mu & -2\mu & 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& -2\mu & 4\mu & -2\mu & 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -2\mu & 4\mu & -2\mu & 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -2\mu & 4\mu & -2\mu & 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& -2\mu & 4\mu & -2\mu & 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& -2\mu & 4\mu & -2\mu & 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& -2\mu & 4\mu & -2\mu & 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& -2\mu & 4\mu & -2\mu \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& -2\mu & 2\mu +2\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c}-2L(0)\mu \\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ -2\text{Ls}\end{array}\right)$$

这里的 L(0) 就是 $l_k$，可以注意到，和理论计算相符合

参考

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