Appendix Notion Appendix Notion 给定一些符号上的说明 definition 定义$P_m\left( F \right)$ 表示对于非负整数m，$P_m\left( F \right)$表示系数在F中且次数不超过m的所有多项式构成的集合 note 记号F、V、W F表示R或者C; V和W表示F上的向量空间;

Chap1 向量空间 Chap1 向量空间 定义 在给定了一个域 F 后，考虑向量空间定义为一个带有加法和标量乘法的集合 V，使得其满足这样的一些性质： 首先定义加法和标量乘法 definition 定义加法和标量乘法： 集合V上的加法是一个函数，将每一对$u,v \in V$对应到V中的一个元素$u+v$; 集合V上的标量乘法是一个函数，将每一个标量$\l

Chap10 迹和行列式 Chap10 迹和行列式 迹：算子和矩阵之间的联系 definition 算子的迹 设T∈L(V) 若F=C，则T的迹等于T的按照重数重复的全体本征值之和; 若F=R，则T的迹等于$T_C$的按照重数重复的全体本征值之和; T的迹记为$\mathrm{trace}T$ 显然，$\mathrm{trace}T$ 等于 T 的特征多项式

Chap2 有限维向量空间 Chap2 有限维向量空间 Chap1 向量空间 中研究了如何从集合的角度定义和分析向量空间，但很多时候，我们关注的并不是任意维数集合构成的线性空间，而一般是有限维的线性空间 从向量组构成线性空间 我们考虑细化前面集合角度定义的线性空间，并将讨论范围限制在有限维的空间中。一般我们使用括号将一组数括起来表示数组，这里的数是定义在 F

Chap3 线性映射 Chap3 线性映射 前面的线性空间构成了分析的基础，是一个静止的空间。现在来到真正运动的领域——线性映射。Welcome to the true world! 向量空间的线性映射 首先不加引用的直接给出线性映射的定义： definition 线性映射 定义从V到W的线性映射是具有下面性质的函数$T:V\rightarrow W$ 加性

Chap4 多项式 Chap4 多项式 这一章是和前面没啥关系的补充章节，内容也比较简单，我就简单提下。 一些规定： 多项式 0 的次数为 $-\infty$; s 是一个多项式，deg s 是 s 的最高项次数; 处理多项式时有一个基本的定理，称为多项式的带余除法。 lemma 多项式的带余除法 假设p,s∈P(F)，且s≠0，则存在惟一的多项式q,r∈P

Chap5 本征值和本征向量 Chap5 本征值和本征向量 Chap3 线性映射 中比较粗糙的研究了一个向量空间到另一个向量空间的映射，从这里开始，开始研究一个算子的更细致的特性，即从一个有限维向量空间到其自身的线性映射。 为了方便理解算子的结构，一个自然地想法是将算子作用的空间缩小，划分成一块一块的小作用域，算子在小作用域上也是算子。为此，我们引入一些新的

Chap6 内积空间 Chap6 内积空间 在前面我们定义向量空间的时候，推广了 R2 的线性结构 (加法和标量乘法)，但这些是不够的，比如我们故意忽略了长度和角度的概念。现在我们引入内积来定义更广空间下的长度和角度，之后将会注意到，定义的内积其实也是一个线性泛函。 内积和范数 范数在 Rn 上的推广是显然的： 定義 $x=\left( x1,\cdots

Chap7 内积空间上的算子 Chap7 内积空间上的算子 上一节定义了内积空间，自然地可以考虑一个映射在内积作用下的效果，也就是 切换空间来看这个映射，和我们前面思考的对偶映射、逆映射等有异曲同工之妙 自伴算子和正规算子 definition 伴随 设$T\in \mathcal{L} \left( V,W \right)$，T的伴随指的是满足下面条件的函

Chap8 复向量空间上的算子 Chap8 复向量空间上的算子 这一章主要是针对复空间上算子的结构进行整理，因此不一定具有内积了。 幂零算子和广义本征向量 首先来讨论算子幂的零空间。 lemma 递增的零空间序列 设T∈L(V)，则： $$ {0}=\mathrm{null} T^{0} \subset \mathrm{null} T^{1} \subset