chap12 弯曲变形

chap12 弯曲变形

基本介绍

在外力作用下，梁的轴线由直线变为曲线。变弯的梁轴称为 挠曲轴

对于细长梁，剪力对其变形的影响一般忽略不计，认为变形后各个横截面保持平面。

• 定义横截面的形心在垂直于梁轴方向的位移为 挠度，使用 $\omega$ 表示

• 定义横截面的角位移为 转角，使用 $\theta$ 表示

  • 由于忽略了剪力，梁弯曲时横截面保持平面并和挠曲轴正交

  • 由于一般转角很小，因此有：

$$\theta \approx \tan \theta =\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}x}$$

挠曲轴近似微分方程

注意到前面纯弯梁正应力公式有：

$$\frac{1}{\rho }=\frac{M}{EI}$$

因此忽略剪力情况下，方程在这里也成立：

$$\pm \frac{\frac{{\mathrm{d}}^2\omega }{\mathrm{d}{x}^2}}{{\left(1+{\left(\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}x}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\rho \left(x\right)}=\frac{M\left(x\right)}{EI}$$

上面使用了曲率的公式。由于转角一般很小，因此 ${\left(\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}x}\right)}^2$ 可以忽略不计，从而有：

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\omega }{\mathrm{d}{x}^2}=\pm \frac{M\left(x\right)}{EI}$$

定义正负方向有：

需要注意，这里坐标轴 x 的方向不影响弯矩的正负以及曲率的正负，从而式子也适用于左手坐标系 (x 轴向左)

总之可以得到下面的变型方程：

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{d}}^2\omega }{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{M\left(x\right)}{EI} \\ \theta =\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}x} \end{gathered}$$

从而：

$$\begin{gathered} \theta =\int \frac{M}{EI}\mathrm{d}x+C \\ \omega =\iint \frac{M}{EI}\mathrm{d}x\mathrm{d}x+Cx+D \end{gathered}$$

结合边界条件可以得到变形结果