chap10 弯曲内力

randolf2022年8月9日

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一般来讲，在杆件承受垂直于其轴线的外力时，或者在轴线平面外作用有外力偶时，杆的轴线将从直线变为曲线。这类以轴线变弯为主要特征的变型形式被称为弯曲，以弯曲为主要变形的杆件称为梁

考虑一个简单例子：

使用力平衡方程和力矩平衡方程有：

F_{s} = F_{A y} - F_{1} M = F_{A y} b - F_{1} (b - a)

定义弯矩和剪力的正负符号：

根据上面定义的正负符号，如下例做出弯矩和剪力图为：

从一个基本的梁进行分析，采取微端进行分析：

考虑平衡方程为：

\sum F_{y} = 0 \Rightarrow F_{s} + q d x - (F_{s} + d F_{s}) = 0 \sum M_{c} = 0 \Rightarrow M + d M - q d x \frac{d x}{2} - F_{s} d x - M = 0

因此有下面的微分方程：

\frac{d F _{s}}{d x} = q, \frac{d M}{d x} = F_{s}, \frac{d ^{2} M}{d x ^{2}} = q

对下图所示的非均布梁：

在 AB 区段，分布载荷的合力为：

F_{R} = \int_{x_{A}}^{x_{B}} q (x) d x

在作用线至原点 O 的距离为：

x_{R} = \frac{\int _{x_{A}}^{x_{B}} x q ( x ) d x}{F _{R}}

也就是说，在区间 AB 内，分布载荷的合力数值上即等于该区间内载荷分布图的面积，载荷作用线通过形心

此外，根据微分方程求解力也是可行的

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