变分

变分

定义

变分在很多物理问题中得到了充分的使用，比如 分析力学。本人理解也不是很深刻，仅供参考。

以位移为例，我们知道虚位移 $\delta r$ 并不是真正的位移，是不存在的。虚位移代表着一个任意的假想的无穷小的位移，其满足系统的约束。

比如计算下式对于 $u(x)$ 的变分：

$$expr:-2u(x)u^{\prime }(x)+x^{2}u(x)+u(x)+2x\sin (u(x))$$

计算变分得到结果为：

$$\delta (u(x))\left(-2u^{\prime }(x)+2x\cos (u(x))+x^2+1\right)-2u(x)\delta \left(u^{\prime }(x)\right)$$

更直观一点的，通过 mathematica 计算的例子如下：

integrand[u_] := u[x] + x^2 u[x] - 2 u[x] u'[x] + 2 x*Sin[u[x]]
D[integrand[u + t u'], t] /. t -> 0

$$result=-2u(x)u^{\prime \prime }(x)+x^2{u}^{\prime }(x)-2u^{\prime }(x{)}^2+u^{\prime }(x)+2x{u}^{\prime }(x)\cos (u(x))$$

其中所有关于 u[x] 的微分换成 $\delta (\ast )$，* 代表比该微分阶次低一阶的形式。

虽然计算结果不太正确，但是思想是无误的，即注意

D[integrand[u + t u'], t] /. t -> 0

表示的是计算变分的思想，生成一点随机的虚拟的微小扰动。

另外，附上 Mathematica 实现变分的完整代码：

Clear[\[Delta], myVariationalD]
(*ref: https://mathematica.stackexchange.com/questions/233933/use-of-\
variational-operator-in-mathematica*)
myVariationalD[expr_, f_[x_]] := 
 Module[{maxDerivative}, 
  maxDerivative = Max@Cases[expr, Derivative[m_][f][x] :> m, Infinity];
  D[expr, f[x]] \[Delta][f[x]] + 
   Sum[D[expr, Derivative[m][f][x]] \[Delta][Derivative[m][f][x]], {m,
      1, maxDerivative}]]

参考

• @meirovitchPrinciplesTechniquesVibrations