Chap3 Topological manifolds and bundles

拓扑流形和 Bundle

Manifold

manifold

一个 paracompact, Hausdorff 的拓扑空间 $(M,\mathcal{O})$ 被称为 d-dimensional(topological) manifold 如果：

对 M 中任意点 $p\in M$，存在一个邻域 $U(p)$ 还有一个同胚 (homeomorphism)$x:U\left(p\right)\to x\left(U\left(p\right)\right)\subseteq {\mathbb{R}}^d$。我们也表示为：$\text{dim}M=d$

^def-manifold

直观上来看，一个 d 维拓扑流形指的是一个 (任意点) 局部类似于 $R^d$ 的拓扑空间。

note

注意，我们目前实际上看到的是实拓扑流形，如果要考虑复的情形，只需要将同胚x改成映射到$C^d$上的开集就可

theorem

考虑 M 是一个 d 维拓扑流形，$U,V\subseteq M$ 且是开的，相交的 $U\cap V\ne \oslash$。如果 x，y 是 2 个 homeomorphism，且：

$$\begin{array}{c}x:U\to x\left(U\right)\subseteq {\mathbb{R}}^d\\ y:V\to y\left(V\right)\subseteq {\mathbb{R}}^{d^{\prime }}\end{array}$$

那么 $d=d^{\prime }$

这个定理告诉我们，dimension 这个概念定义是没问题的，即 well-defined。它在任意一点 (任意连通的部分的一点) 上是相同的

类似定义子拓扑空间的思路，我们也可以定义子流形：

definition

$(M,\mathcal{O})$ 是一个拓扑流形，$N\subseteq M$，那么 $\left(N,\mathcal{O}{|}_N\right)$ 被称为 $(M,\mathcal{O})$ 的一个子流形 (如果它本身是一个流形)

^def-sub-manifold

一些简单的关于子流形的例子：

• $S^1$ 是 $R^2$ 的子流形
• $S^2,C,T^2$ 是 $R^3$ 的子流形

同样的，拓扑空间可以 product，那么拓扑流形也可以这么操作：

definition

$\left(M,{\mathcal{O}}_M\right)$ 和 $\left(N,{\mathcal{O}}_N\right)$ 是 2 个维数为 m 和 n 的流形，那么 $\left(M\times N,{\mathcal{O}}_{M\times N}\right)$ 是一个维数为 $m+n$ 的流形

^def-product-manifold

举例来说，我们有：

• $T^2=S^1\times S^1$ (可以证明其不仅是拓扑空间，还是拓扑流形)；进一步：$T^n:=\underset{n\mathrm{times}}{\underbrace{S^1\times S^1\times \cdots S^1}}$ 是一个 n 维流形
• $C=S^1\times \mathbb{R}$ 是一个 2 维流形

Bundle

一点题外话，在 物理 中经常用到 Product 这个操作，直观上来看，两个流形的 product 可以看成在第一个流形的每一点上粘上另一个流形的复制，但是并不是所有的流形都可以看成流形的 prouct，一个经典的例子就是莫比乌斯环：很像是 $S^1\times [0,1]$ 但是被扭曲了一面，从而和圆柱完全不同

bundle

一个拓扑流形的 bundle 是一个三元组: $(E,\pi ,M)$ 其中 E 和 M 是拓扑流形，分别记为 total space 和 base space，$\pi$ 是一个 连续的 满射 $\pi :E\to M$，被称为 projection map

我们通常记 bundle $(E,\pi ,M)$ 为 $E\stackrel{\pi }{\to }M$

^def-bundle

fibre

bunlde$E\stackrel{\pi }{\to }M$，M 上存在一点 $p\in M$，那么称 $F_p:=\mathrm{preim}\left(\left\{p\right\}\right)$ 为在 p 点的 fibre

^def-fibre

直观上来看，在 p 点的 fibre 是 E 中 (通过映射 $\pi$) 连接到 p 点的点集 $F_p$

一个直观的 bundle 是 product bundle，可以通过 product manifold 构造：

$$\begin{array}{c}\pi :M\times N\to M\\ \left(p,q\right)\mapsto p\end{array}$$

从而得到 bundle $\left(M\times N,\pi ,N\right)$

根据我们的定义，bundle 是比 product 更宽泛的结构，可以通过下面例子解释：

example

考虑 total space E 为莫比乌斯环，M 是 circle ($S^1$)，如下图示意：

其中这个矩形代表未折叠的莫比乌斯环，可以发现这是一个 bundle 但不是一个 product

^example-mobius-bundle

bunlde 可以具有更奇怪的结构，一个 manifold 上可以具有完全不同的 bundle:

example

观察这个 bundle 对应的 fibre：

$$F_p:={\mathrm{preim}}_{\pi }(\{p\})\cong {}_{\mathrm{top}}\{\begin{array}{ll}{S}^1& \text{ if }p<0\\ \{p\}& \text{ if }p=0\\ [0,1]& \text{ if }p>0\end{array}$$

fibre bundle

$E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是一个 bundle，F 是一个流形，那么称 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是一个 fibre bundle(纤维丛)，with (typical) fibre F，如果：

$$\forall p\in M:{\text{preim}}_{\pi }(\{p\}){\cong }_{\text{top}}F$$

可以将一个纤维丛表示为：

$$\begin{array}{r}F⟶E\\ {\downarrow }^{\pi }\\ M\end{array}$$

^def-fibre-bundle

从定义上来看，这个定义直观上就是把 fibre 具象化出来，可以参考示例：

• $M\times N\stackrel{\pi }{\to }M$ 是一个 fibre bundle，with fibre $F:=N$
• 莫比乌斯带是一个 fibre bundle: $E\stackrel{\pi }{\to }{S}^1,F:=\left[0,1\right]$，其中 $E\ne S^1\times [0,1]$

section

考虑 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是一个 bundle，映射 $\sigma :M\to E$ 是一个 (cross-)section of the bundle，如果：

$$\pi \circ \sigma ={\text{id}}_M$$

^def-section

直观上来看，一个 section 是一个映射 $\sigma$ 可以将 base space 中的每个点 P 送到 E 中的纤维 $F_p$ 上的某个点 $\sigma (p)$ 处，从而有 $\sigma (p)\in F_p\subseteq E$ 可以通过 $\pi$ 回到 $p\in M$

还是用最简单的 product bundle 来说明，考虑 product bundle $(M\times F,\pi ,M)$ ，那么这个 Bundle 的 section 是这样一个映射：

$$\begin{array}{c}\sigma :M\to M\times F\\ p\mapsto \left(p,s\left(p\right)\right)\end{array}$$

其中 $s:M\to F$ 是任意一个映射

在完成了 bundle 的定义后，考虑子流形上的 bundle：

sub-bundle

一个 bundle $(E,\pi ,M)$ 的 sub-bundle 是一个三元组 $(E^{\prime },{\pi }^{\prime },M^{\prime })$，其中 $E^{\prime }\subseteq E,M^{\prime }\subseteq M$ 是子流形，${\pi }^{\prime }:=\pi {|}_{E^{\prime }}$

^def-sub-bundle

为了引出 bundle 之间的同构，我们补充定义 restricted bundle:

restricted bundle

一个 bundle $(E,\pi ,M)$，$N\subseteq M$ 是一个子流形，那么 restricted bundle (to N) 是一个三元组 $(E,{\pi }^{\prime },N)$ 其中：

$${\pi }^{\prime }:=\pi {|}_{{\mathrm{preim}}_{\pi }\left(N\right)}$$

^def-restricted-bundle

现在我们可以考虑 bundle 之间的同构了：

bundle morphism

有 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 和 $E’\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\to }{M}^{\prime }$ 是 bundle，考虑映射 $u:E\to E^{\prime }$ 和 $v:M\to M^{\prime }$，称二元组 $(u,v)$ 是一个 bundle morphism 下面的映射成立：

$${\pi }^{\prime }\circ u=v\circ \pi$$

或者说：

$$\begin{array}{ccc}E& \stackrel{u}{\to }& E^{\prime }\\ \downarrow \pi & & \downarrow {\pi }^{\prime }\\ M& \stackrel{v}{\to }& M^{\prime }\end{array}$$

^def-bundle-morphism

容易证明，如果存在 2 个 bundle morphism $(u,v)$ 和 $(u,v^{\prime })$，那么 $v=v^{\prime }$ (但是 u 不一样似乎就没办法了)。这表明，如果 u 确定了，那么使得 (u,v) 是 Bundle morphism 的 v 是唯一的

在上面的 bundle morphism 基础上，我们可以构造 bundle 之间的同构 (isomorphism)

bundle isomorphism

两个 bundle $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 和 $E^{\prime }\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\to }{M}^{\prime }$ 被称为 isomorohic(as bundles) 如果存在 bundle morphism $(u,v)$ 和 $(u^{-1},v^{-1})$ 使得：

$$\begin{array}{ccc}E& \underset{u^{-1}}{\overset{u}{\leftrightharpoons }}& E^{\prime }\\ \downarrow \pi & & \downarrow {\pi }^{\prime }\\ M& \underset{v^{-1}}{\overset{v}{\leftrightharpoons }}& M^{\prime }\end{array}$$

这样的 $(u,v)$ 被称为 bundle isomorphism，我们记为：$E\stackrel{\pi }{\to }M{\cong }_{\mathrm{bdl}}{E}^{\prime }\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\to }{M}^{\prime }$

^def-bundle-isomorphism

note

正如前面各种isomorphism所表示的，bundle isomorphism是对bundle保持结构不变的映射

全局的 isomorphic 可能要求比较苛刻，我们可以考虑局部的 isomorphic：

locally isomorohic

我们称一个 bundle $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是 locally isomorohic (as a bundle) to a bundle $E^{\prime }\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\to }{M}^{\prime }$，如果对任意点 $p\in M$ 有邻域 $U(p)$ 使得 restricted bundle：

$${\mathrm{preim}}_{\pi }\left(U\left(p\right)\right)\stackrel{\pi {|}_{\mathrm{preim}\left(U\left(p\right)\right)}}{\to }U\left(p\right)$$

和 bundle $E^{\prime }\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\to }{M}^{\prime }$ 是 isomorphic 的

^def-locally-bundle-isomorphism

由于 product bundle 的简单性质，我们可以将与之 isomorphic 的 bundle 都提出来，记 bundle $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是

• trivial，如果其和一个 product bundle 同构
• locally-trivial，如果和 product bundle locally isomorphic

可以发现，我们之前定义的 莫比乌斯映射 是 locally trivial 的但不是 trivial 的，而 Cylinder C 则是 trivial 的

note

在我们的应用种，我们一般考虑的是locally trivial bundles

pull-back bundle

考虑 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是一个 bundle，f 是从一个流形 M’出发的映射，$f:M^{\prime }\to M$。定义从 bundle $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 使用 映射 f 诱导出的 pull-back bundle：$E^{\prime }\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\to }{M}^{\prime }$ ：

$$E^{\prime }:=\left\{\left(m^{\prime },e\right)\in M^{\prime }\times E|f\left(m^{\prime }\right)=\pi \left(e\right)\right\}$$

且${\pi }^{\prime }\left(m^{\prime },e\right):=m^{\prime }$

^def-pull-back-bundle

从定义中可以看出来，这就是一个 product bundle 的形式，我们可以很轻松的构建出 bundle morphism：

$$\begin{array}{ccc}{E}^{\prime }& \stackrel{u}{\to }& E\\ {\downarrow }^{{\pi }^{\prime }}& & {\downarrow }^{\pi }\\ M^{\prime }& \stackrel{f}{\to }& M\end{array}$$

其中 $u:E^{\prime }\to E$ 就是一个投影映射：$(m^{\prime },e)\mapsto e$

注意到我们构造的 pull-back bundle 是 trivial 的 product bundle，从而我们可以很容易的得到其上的 section 的形式，如下 式子 所示：

$$\begin{array}{ccc}{E}^{\prime }& \stackrel{u}{\to }& E\\ {}^{{\sigma }^{\prime }}\uparrow {\downarrow }^{{\pi }^{\prime }}& {}^{\sigma \circ f}\nearrow & {}^{\sigma }\uparrow {\downarrow }^{\pi }\\ M^{\prime }& \stackrel{f}{\to }& M\end{array}$$

^eqn-pull-back-bundle-section

其中 $u$ 和 ${\pi }^{\prime }$ 都是二元组 $(m^{\prime },e)$ 的 projection 映射。对 bundle $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 上的 section $\sigma$，考虑映射 $\sigma \circ f$，其构成了一个 $M^{\prime }$ 到 $E$ 的映射。注意到：

$$\pi \left(\sigma \left(f\left(m^{\prime }\right)\right)\right)=\left(\pi \circ \sigma \circ f\right)\left(m^{\prime }\right)=f\left(m^{\prime }\right)$$

根据 ^def-pull-back-bundle 的 $E^{\prime }$ 的构造定义，$(m^{\prime },\sigma (f(m^{\prime })))\in E^{\prime }$，而又考虑到我们构造的 ${\pi }^{\prime }(m^{\prime },e)=m^{\prime }$，从而在 pull-back bundle 上的 section 可以直接构造为：

$$\begin{array}{l}{\sigma }^{\prime }:M^{\prime }\to E^{\prime }\\ m^{\prime }\mapsto \left(m^{\prime },\left(\sigma \circ f\right)\left(m^{\prime }\right)\right)\end{array}$$

显然其满足 section 的定义，且也满足 $u\circ {\sigma }^{\prime }=\sigma \circ f$

Atlas & Manifold

chart of manifold

$(M,\mathcal{O})$ 是一个 d 维流形，称一个 pair $(U,x)$ 是该 Manifold 的 chart，其中 $U\in \mathcal{O}$, $x:U\to x\left(U\right)\subseteq {\mathbb{R}}^d$ 是一个 homeomorphism

称component functions(maps) of $x:U\to x(U)\subseteq {\mathbb{R}}^d$ 为：

$$\begin{array}{l}{x}^i:U\to \mathbb{R}\\ p\mapsto {\mathrm{proj}}_i\left(x\left(p\right)\right)\end{array}$$

其中$1⩽i⩽d$，而${\mathrm{proj}}_i\left(x\left(p\right)\right)$是$x(p)$的第i个分量。我们称$x^i(p)$为点$p\in U$针对chart $(U,x)$的co-ordinates(坐标)

^def-chart-of-manifold

在全局意义上我们可以将 chart 收集起来，从而得到了 Atlas

atlas

一个流形 M 的 atlas 是一个 chart 的集合：

$$\mathcal{A}:=\left\{\left(U_{\alpha },x_{\alpha }\right)|\alpha \in \mathcal{A}\right\}$$

且满足：

$$\bigcup _{\alpha \in \mathcal{A}}{U}_{\alpha }=M$$

^def-atlas

显然不同的 chart 之间会有 overlap，在 Overlap 中的点在不同的 chart 下会有不同的坐标，这就是我们希望研究的：

C0-compatible

两个 charts $(U,x)$ 和 $(V,y)$ 被称为 $C^0-compatible$ 的如果：

• 要么 $U\cap V=\oslash$
• 要么映射：$y\circ x^{-1}:x\left(U\cap V\right)\to y\left(U\cap V\right)$ 是 continious 的

可以看成下面这样一个图成立：

^def-C0-compatible

注意到映射 x, y 都是 homeomorphism，那么复合映射 $y\circ x^{-1}$ 也是 homorphism，从而必定是 continuous 的，这意味着一个流形上的任意 2 个 chart 都是 C0-compatible 的

我们称一个流形上的 $C^0-altas$ 是所有 C0-compatible 的 chart 的集合，那么任何 atlas 都是 C0-atlas

从名字就可以看出来，后面还会有 Ck-compatible 这类的定义 (实际上就是 differentiability)

我们称一个 C0-atlas $\mathcal{A}$ 是一个 maximal atlas 如果：对任意 chart $(U,x)\in \mathcal{A}$，我们有：所有的和 $(U,x)$ C0-compatible 的 chart $(V,y)$ 都属于 $\mathcal{A}$，即 $(V,y)\in \mathcal{A}$ 。 ^c172db

显然，不是所有的 C0-atlas 都是 maximal atlas，比如考虑流形 $\left(\mathbb{R},{\mathcal{O}}_{\mathrm{std}}\right)$，atlas 为 $\mathcal{A}:=\left(\mathbb{R},{\mathrm{id}}_{\mathbb{R}}\right)$，那么这就不是一个 maximal atlas，因为考虑 chart $\left(\left(0,1\right),{\mathrm{id}}_{\mathbb{R}}\right)$ 是和 $\left(\mathbb{R},{\mathrm{id}}_{\mathbb{R}}\right)$ C0-compatible 的，但是并不在 $\mathcal{A}$ 中

在有了 atlas 之后，我们终于可以跳出 manifold 观察物体了，现在分析问题就可以从 manifold 上或者利用 atlas 从 $R^d$ 上分析了。举例来说，考虑研究一个 curve $\gamma :\mathbb{R}\to M$ 是否为连续的：

• 从 manifold 上，我们有以往的定义，即 curve $\gamma :\mathbb{R}\to M$ 是否为连续的依赖于映射 $\gamma$ 是否是从拓扑空间 $\mathbb{R}$ 到拓扑空间 $M$ 的连续的映射
• 使用 atlas 可以有我们更加熟悉的结果：

我们首先考虑空间 M 的一个开子集，并将映射 $\gamma :\mathbb{R}\to M$ 替换，考虑复合映射：

$$x\circ \gamma :{\mathrm{preim}}_{\gamma }\left(U\right)\to x\left(U\right)\subseteq {\mathbb{R}}^d$$

现在我们更希望直接 check 新的欧式空间 ${\mathbb{R}}^d$ 上的曲线是不是连续的，即每个分量的连续性。

这么做把问题转换到了熟悉的欧式空间中，方便我们计算，但也存在问题：如果选取了 2 个 chart 怎么办？

Chap3 Topological manifolds and bundles 2022-09-04 11

如上图，可以使用简单的映射完成转换。更“抽象”地说，映射 $y\circ x^{-1}$ 实际上允许我们不依赖原流形 M 的结构 (比如 U, x, y) 来考虑问题，因为实际上这是 $R^d$ 之间的 映射。

参考

引文

脚注