线性赋范空间

线性赋范空间

线性空间

我们说空间是一个 具有某种性质的元素的集合，而线性空间意味着：

线性空间

设E是一个非空集合，如果：

1. 对E中任意两个元素x和y，对应E中一个元素，称为x和y的和，记为 $x+y$
2. 对E中任意元素x和任意实数 $\lambda$，均对应E中一个元素，称为x和 $\lambda$ 的数乘，记为 $\lambda x$

且E满足线性性质，称E是一个实线性空间

note

这也是一种空间封闭性的体现。可以进行加法和数乘操作

除了基本的加法和数乘定义，线性空间还应满足下面的性质：

definition

1. $x+y=y+x$
2. $x+(y+z)=(x+y)+z$
3. E中存在唯一的零元素，使得 $x+0=x，\forall x\in E$ ; E中存在唯一的负元素，使得 $x+(-x)=0，\forall x\in E$
4. $\lambda (\mu x)=(\lambda \mu )x$
5. $1x=x,0x=0$
6. $\lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y$
7. $(\lambda +\mu )x=\lambda x+\mu x$

^def-linear-property

note

注意，有理数并不是线性空间，他对数乘不是封闭的!

其余线性空间的基底、维度、运算等等是基本的，直接参考 README 即可

无限维线性空间

有限维的情形比较直观，对无限维的情形又怎么样呢？

example

所有在区间 $[a,b]$ 上定义的具有连续的k阶导数的实函数构成的空间 $C^k[a,b]$ 是一个无限维的线性空间

论证点有 2 个：线性 + 无限

1. 集合非空
2. 可定义线性运算
   1. 普通的函数加法就可以
      1. 想想别的运算可以吗？比如卷积、积分？
   2. 0 元素就是 0
   3. 数乘就是普通函数数乘
3. 维数怎么操作？
   1. 如何找基？如何证明基包含所有元素？
   2. hint: 函数基底展开——傅里叶，可以证明傅里叶取的 sin 确实构成了完备的基底 ^[1]
   3. 是可数无限

note

一般来说，往往的函数空间就是无限的

#todo P5，线性空间同构

参考

引文

• readme

脚注

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1. 更详细的内容参考《傅里叶展开》 ↩︎